Taylorreihe von Hauptwert Log < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Di 16.02.2010 | | Autor: | mafra |
| Aufgabe | | Log(a)+ [mm] \sum_{n=1}^{\infty} [((-1)^{n-1})/(n*a^n)] *(z-a)^n [/mm] |
Das oben soll also die Taylorreihe des Hauptwert des Log sein um [mm] a\in \IC_{-} [/mm] (soll heißen C geschlitzt). Der Konvergenzradius ist [mm] \left| a \right|. [/mm] Für [mm] a\in \IC_{-} [/mm] mit Re a<0 ist nun der Konvergenzradius r der Taylorreihe mit Enticklungspunkt a echt größer als der Abstand des Entwicklungpunktes vom Rand des Definitionbereichs. Hab auch ein tolles Bildchen (das ich hier leider nicht zeichnen kann). Hoffe es wurde trotzdem klar. soweit so gut.
nun heißt es aber das [mm] \IC_{-} \cap U_{r}(a) [/mm] in zwei disjunkte zusammenhängende TEile zerfällt (was anschaulich auch klar ist).
Nun zu dem Teil den ich nicht wirklich verstehe.
Es wird behauptet dass im oberen Teil ( also bis zur negativen reellen Achse) diese Reihe den Hauptwert des Logarithmus darstellt und im anderen Teil Log(z)+2*PI*i
Warum?? kann mir da jemand helfen?? heißt das dass ein und dieselbe Taylorreihe 2 verschiedene (zumindest verschieden bezgl des Streifens) Funktionen darstellt?? Danke für die Hilfe...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:11 Mi 17.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Log(a)+ [mm]\sum_{n=1}^{\infty} [((-1)^{n-1})/(n*a^n)] *(z-a)^n[/mm]
>
> Das oben soll also die Taylorreihe des Hauptwert des Log
> sein um [mm]a\in \IC_{-}[/mm] (soll heißen C geschlitzt). Der
> Konvergenzradius ist [mm]\left| a \right|.[/mm] Für [mm]a\in \IC_{-}[/mm]
> mit Re a<0 ist nun der Konvergenzradius r der Taylorreihe
> mit Enticklungspunkt a echt größer als der Abstand des
> Entwicklungpunktes vom Rand des Definitionbereichs. Hab
> auch ein tolles Bildchen (das ich hier leider nicht
> zeichnen kann). Hoffe es wurde trotzdem klar.
Ja, ich kenne das und auch das Buch von Freitag und Busam
> soweit so
> gut.
> nun heißt es aber das [mm]\IC_{-} \cap U_{r}(a)[/mm] in zwei
> disjunkte zusammenhängende TEile zerfällt (was
> anschaulich auch klar ist).
>
> Nun zu dem Teil den ich nicht wirklich verstehe.
>
> Es wird behauptet dass im oberen Teil ( also bis zur
> negativen reellen Achse) diese Reihe den Hauptwert des
> Logarithmus darstellt und im anderen Teil Log(z)+2*PI*i
>
> Warum?? kann mir da jemand helfen?? heißt das dass ein und
> dieselbe Taylorreihe 2 verschiedene (zumindest verschieden
> bezgl des Streifens) Funktionen darstellt?? Danke für die
> Hilfe...
Schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus#Komplexer_Logarithmus
http://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_Fläche
FRED
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