Taylorreihe, ersten drei Glied < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 Di 04.01.2011 | | Autor: | Karlomon |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die ersten drei Glieder (quadratische Näherung) der taylorreihe zur Funktion y(x)=1/cos(x) im Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=0 [/mm] |
Folgendes hab ich gemacht, ist das richtig oder fehlt da was?und wenn ja was und wie?
y(x)=1/cos(x)=y(0)=1/cos(0)=1
Y{|}=-cos(x)*-sin(x)
y{||}=sin(x)*-sin(x)+(-cos(x)*-cos(x))
y{|}->f{|}(0)=-cos(0)*-sin(0)=0
y{||}=sin(0)*-sin(0)+(-cos(0)*-cos(0))=1
[mm] 1/cos(x)=1+\bruch{0}{1!}(x-0)+\bruch{1}{2!}(x-0)^{2}-+...
[/mm]
[mm] =1+\bruch{(x-0)^2}{2!}-+...=\summe_{n=0}^{infty}\bruch{f^{n}(0)}{n!}*(x-0)^n
[/mm]
ist das auch so richtig oder fehlt da etwas?
danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Di 04.01.2011 | | Autor: | Karlomon |
meine ableitung war wie folgt:
y{|}=cos(x)^-1
g=(h(x))
y=(h(x)=cos(x)
g(y)=y^-1
H{|}(x)=-sin(x) g{|}=-1y //ich glaub da ist der fehler!!
müsste -1y^-2
dann müsste die erste ableitung:
[mm] -cos(x)^{-2}*-sin(x)
[/mm]
somit würde sich für die 2te nach der produktregel
[mm] (-2*-sin(x)^{-3}*-sin(x))+(-cos(x)^{-2}*-cos(x))
[/mm]
also:
[mm] 2*\bruch{3}{sin(x)}+(-\bruch{2}{cos(x)}*-cos(x))
[/mm]
aber, wenn ich die ableitungen dann richtig habe, ist der rest des lösungsweg der aufgabe richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:00 Di 04.01.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
> meine ableitung war wie folgt:
>
> y{|}=cos(x)^-1
Was meinst Du eigentlich mit diesem Ausdruck {|}, vielleicht [mm] y(x)=\br{1}{cos(x)}?
[/mm]
> g=(h(x))
> y=(h(x)=cos(x)
> g(y)=y^-1
> H{|}(x)=-sin(x) g{|}=-1y //ich glaub da ist der fehler!!
Was soll H(x) für eine Funktion sein?
> müsste -1y^-2
Was soll [mm] -1*y^{-2} [/mm] bedeuten? Die Benutzung des Formeleditors macht manches leichter!
> dann müsste die erste ableitung:
> [mm]-cos(x)^{-2}*-sin(x)[/mm]
die Minuszeichen kann man kürzen, dann stimmt es.
> somit würde sich für die 2te nach der produktregel
>
> [mm](-2*-sin(x)^{-3}*-sin(x))+(-cos(x)^{-2}*-cos(x))[/mm]
>
> also:
>
> [mm]2*\bruch{3}{sin(x)}+(-\bruch{2}{cos(x)}*-cos(x))[/mm]
Nimm doch einfach die Quotientenregel mit
u(x)=sin(x) und [mm] v=cos(x)^2
[/mm]
u'(x)=cos(x) v'(x)=-2*cos(x)*sin(x) und dann alles einsetzen.
Dann ist die zweite Ableitung [mm] \br{u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)}{v(x)^2}
[/mm]
> aber, wenn ich die ableitungen dann richtig habe, ist der
> rest des lösungsweg der aufgabe richtig?
Die Taylorreihe bis zum dritten Glied lautet
[mm] f(x)=f(0)+f'(0)*x+\br{1}{2}*f''(0)*x^2+Restglied
[/mm]
f(0)=1
f'(0)=0
f''(0)=1
und jetzt alles einsetzen und richtig (mit Formeleditor!) aufschreiben.
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
Quotientenregel