Taylorreihe einer Verfahrensfk < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Mo 06.07.2009 | | Autor: | Zerwas |
Für das Heun–Verfahren
[mm] \Phi [/mm] = 0.5 f(t, Y) + 0.5 f (t + h, Y + h f (t, Y ))
erhält man durch Taylor–Entwicklung
[mm] \Phi [/mm] = f + [mm] \frac{h}{2}(f_t [/mm] + [mm] f_y*f) [/mm] + [mm] \frac{h^2}{4}(f_{tt}+2f_{ty}f [/mm] + [mm] f_{yy}(f,f)) [/mm] + [mm] O(h^3)
[/mm]
Aber wieso?
Mein Problem ist, dass ich nicht weiß worauf ich die Taylorreihe los lasse.
Und wie dann?
Ich würde mich freuen wenn mir jemand das ganze mal iwie Schritt für Schritt erklären könnte.
Danke und Gruß
Zerwas
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Zerwas,
> Für das Heun–Verfahren
> [mm]\Phi[/mm] = 0.5 f(t, Y) + 0.5 f (t + h, Y + h f (t, Y ))
> erhält man durch Taylor–Entwicklung
>
> [mm]\Phi[/mm] = f + [mm]\frac{h}{2}(f_t[/mm] + [mm]f_y*f)[/mm] +
> [mm]\frac{h^2}{4}(f_{tt}+2f_{ty}f[/mm] + [mm]f_{yy}(f,f))[/mm] + [mm]O(h^3)[/mm]
>
> Aber wieso?
> Mein Problem ist, dass ich nicht weiß worauf ich die
> Taylorreihe los lasse.
Die Tayloreihe läßt Du auf [mm]0.5 f (t + h, Y + h f (t, Y )) [/mm] los.
> Und wie dann?
Nun, hast Du eine Funktion von einer Variablen;
[mm]f\left(t,Y\left(t\right)=f\left(t\right)[/mm]
Die Taylorreihe von f um einen Entwicklungspunkt [mm]t_{0}[/mm] ist nun
[mm]f\left(t\right)=f\left(t_ {0}\right)+\bruch{df}{dt}\left(t_{0}\right)*\left(t-t_{0}\right)+\bruch{1}{2!}*\bruch{d^2 f}{dt^2}}\left(t_{0}\right)*\left(t-t_{0}\right)^{2}+\operatorname{O}\left(t-t_{0}\right)^{3}[/mm]
Nun mußt Du noch die ersten zwei Ableitungen von [mm]f\left( \ t, \ Y\left(t\right) \ \right)[/mm] nach t berechnen.
>
> Ich würde mich freuen wenn mir jemand das ganze mal iwie
> Schritt für Schritt erklären könnte.
>
> Danke und Gruß
> Zerwas
>
> Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Mo 06.07.2009 | | Autor: | Zerwas |
Okay .. danke erstmal ... prinzipiell sollte es jetzt klar sein ...
wenn ich also 0.5*f(t+h, y + h*f(t,y)) betrachte und das ganze um [mm] t_0 [/mm] entwickle müsste ich bekommen:
f(t) = [mm] f(t_0) [/mm] + [mm] \frac{1}{2}*(f_t +f_y*f)(t_0) [/mm] * (t - [mm] t_0) [/mm] + [mm] \frac{1}{2}*\frac{1}{2}*(f_{tt} [/mm] + [mm] f_{ty}*f [/mm] + [mm] f_{yy}(f,f))(t_0)*(t-t_0)^2 [/mm] + [mm] O(t-t_0)^3
[/mm]
Da ich jetzt ja habe [mm] t_0 [/mm] = t+h gilt (t- [mm] t_0) [/mm] = h und damit:
f(t) = f(t+h) + [mm] \frac{h}{2}*(f_t +f_y*f)(t [/mm] + h) + [mm] \frac{h^2}{4}*\frac{1}{2}*(f_{tt} [/mm] + [mm] f_{ty}*f [/mm] + [mm] f_{yy}(f,f))(t [/mm] +h) + [mm] O(h^3)
[/mm]
Passt das soweit prinzipiell?
Und wo kommt die 2 vor [mm] f_{ty}f [/mm] her? ... ich leite [mm] f_t [/mm] doch einfach nochmal direkt nach t und dann mit der Kettenregel auch nochmal "indirekt" ab oder?
Danke und Gruß Zerwas
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Hallo Zerwas,
> Okay .. danke erstmal ... prinzipiell sollte es jetzt klar
> sein ...
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> wenn ich also 0.5*f(t+h, y + h*f(t,y)) betrachte und das
> ganze um [mm]t_0[/mm] entwickle müsste ich bekommen:
>
> f(t) = [mm]f(t_0)[/mm] + [mm]\frac{1}{2}*(f_t +f_y*f)(t_0)[/mm] * (t - [mm]t_0)[/mm] +
> [mm]\frac{1}{2}*\frac{1}{2}*(f_{tt}[/mm] + [mm]f_{ty}*f[/mm] +
> [mm]f_{yy}(f,f))(t_0)*(t-t_0)^2[/mm] + [mm]O(t-t_0)^3[/mm]
>
> Da ich jetzt ja habe [mm]t_0[/mm] = t+h gilt (t- [mm]t_0)[/mm] = h und
> damit:
>
> f(t) = f(t+h) + [mm]\frac{h}{2}*(f_t +f_y*f)(t[/mm] + h) +
> [mm]\frac{h^2}{4}*\frac{1}{2}*(f_{tt}[/mm] + [mm]f_{ty}*f[/mm] +
> [mm]f_{yy}(f,f))(t[/mm] +h) + [mm]O(h^3)[/mm]
>
> Passt das soweit prinzipiell?
>
> Und wo kommt die 2 vor [mm]f_{ty}f[/mm] her? ... ich leite [mm]f_t[/mm] doch
> einfach nochmal direkt nach t und dann mit der Kettenregel
> auch nochmal "indirekt" ab oder?
Nun, die erste Ableitung hast Du korrekt gebildet.
Differenzieren wir das nochmal nach t:
[mm]\bruch{d}{dt}\left( \ f_{t}+f_{y}*f\ \right)=\bruch{d f_{t}}{dt}+\bruch{d f_{y}}{dt}*f+f_{y}*\bruch{df}{dt}[/mm]
Und hier wieder die Kettenregel für die Ableitungen verwenden:
[mm]=\left( \ f_{tt}+f_{ty}*y' \ \right) + \left( \ f_{yt}+f_{yy}*y' \ \right)*f+f_{y}*\left( \ f_{t}+f_{y}*y' \ \right)[/mm]
[mm]=\left( \ f_{tt}+f_{ty}*f \ \right) + \left( \ f_{yt}+f_{yy}*f \ \right)*f+f_{y}*\left( \ f_{t}+f_{y}*f \ \right)[/mm]
Ist f stetig partiell differenzierbar, dann gilt [mm]f_{ty}=f_{yt}[/mm].
Somit ergibt sich dann:
[mm]=f_{tt}+2*f_{ty}*f+f_{yy}*f^{2}+
f_{y}*\left( \ f_{t}+f_{y}*f \ \right)[/mm]
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> Danke und Gruß Zerwas
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Mo 06.07.2009 | | Autor: | Zerwas |
Okay ... gut ... das mit der 2 ist jetzt klar ... danke ... einfach übersehn...
D.h. dass ich ja dann abschließend hätte:
f(t) = f(t+h) + $ [mm] \frac{h}{2}\cdot{}(f_t +f_y\cdot{}f)(t [/mm] $ + h) + [mm] \frac{h^2}{4}\cdot{}(f_{tt} [/mm] $ + $ [mm] 2*f_{ty}\cdot{}f [/mm] + [mm] f_{yy}(f,f)+ f_y*(f_t [/mm] + [mm] f_y*f))(t [/mm] $ +h) + $ [mm] O(h^3) [/mm] = [mm] \Phi
[/mm]
Wobei ja der eine Teil zu viel wäre wenn man die gegebene Lösung anschaut.
Wobei das ja schon Sinn macht, da man den ja mit der Produktregel beim Ableiten bekommt.
Wenn ich jetzt also die Fehlerordnung bestimmen will bilde ich:
f + [mm] \frac{h}{2}*(f_t [/mm] + f_yf) + [mm] \frac{h^2}{6}(f_{tt}+2f_{ty}f+f_{yy}f^2+f_y(f_t+f_yf)+O(h^3) -\Phi [/mm]
und stelle fest, dass die Terme nullter und erster Ordnung wegfallen und damit mein Verfahren Ordnung 2 hat.
Passt das?
Gruß Zerwas
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Hallo Zerwas,
> Okay ... gut ... das mit der 2 ist jetzt klar ... danke ...
> einfach übersehn...
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> D.h. dass ich ja dann abschließend hätte:
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> f(t) = f(t+h) + [mm]\frac{h}{2}\cdot{}(f_t +f_y\cdot{}f)(t[/mm] + h)
> + [mm]\frac{h^2}{4}\cdot{}(f_{tt}[/mm] [mm]+[/mm] [mm]2*f_{ty}\cdot{}f[/mm] +
> [mm]f_{yy}(f,f)+ f_y*(f_t[/mm] + [mm]f_y*f))(t[/mm] [mm]+h) +[/mm] [mm]O(h^3)[/mm] = [mm]\Phi[/mm]
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> Wobei ja der eine Teil zu viel wäre wenn man die gegebene
> Lösung anschaut.
> Wobei das ja schon Sinn macht, da man den ja mit der
> Produktregel beim Ableiten bekommt.
>
> Wenn ich jetzt also die Fehlerordnung bestimmen will bilde
> ich:
>
> f + [mm]\frac{h}{2}*(f_t[/mm] + f_yf) +
> [mm]\frac{h^2}{6}(f_{tt}+2f_{ty}f+f_{yy}f^2+f_y(f_t+f_yf)+O(h^3) -\Phi[/mm]
>
> und stelle fest, dass die Terme nullter und erster Ordnung
> wegfallen und damit mein Verfahren Ordnung 2 hat.
>
> Passt das?
>
Ja, das passt.
> Gruß Zerwas
Gruß
MathePower
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