Taylorreihe Summe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Ich wollte die Funktion f(x) = [mm] \wurzel{1+x} [/mm] in eine Taylorreihe entwickeln und bekam 1 + [mm] \bruch{1}{2} \cdot [/mm] x - [mm] \bruch{1}{2^2 \cdot{} 2} \cdot{}x^2 [/mm] +
[mm] \bruch{3}{2^3 \cdot{} 2 \cdot{}3} \cdot{}x^3 [/mm] - [mm] \bruch{3 \cdot{} 5}{2^4 \cdot{} 2 \cdot{}3 \cdot{}4} \cdot{}x^4 [/mm] + [mm] \bruch{3 \cdot{} 5 \cdot{} 7}{2^5 \cdot{} 2 \cdot{}3 \cdot{}4 \cdot{}5} \cdot{}x^5 [/mm] - ....
Wie kann ich das in Summenschreibweise anschreiben? Die [mm] 2^n [/mm] im Nenner sind ja leicht. Aber der Bruch hat ja dann immer die Form, dass oben so eine Art n! steht, nur dass die positiven zahlen fehlen und unten steht n!
z.B. für n = 4 [mm] \bruch{3 \cdot{} 5}{4!}
[/mm]
Wie kann ich das anschreiben?
Danke!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:07 So 13.05.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich habe das einmal gesehen, als ich mich auf eine Klausur zu diesem Thema vorbereitet habe. Die Taylorentwicklung sieht etwas komisch aus, aber...
Naja, ich habe das Beispiel wieder nachgeschlagen und hier steht folgendes:
[mm] \wurzel{1+x}=1+\bruch{1}{2}x+\summe_{k=2}^{\infty}(-1)^{k-1}\bruch{1*3\cdots(2k-3)}{2*4\cdots(2k)}x^{k}
[/mm]
MfG
barsch
|
|
|
| |
|
Diese Schreibweise entzieht sich meinem Verständnis. Also kann ich die Zahlenfolge 3 * 5 * 7 * 9 * 11 * ...... nicht als Fakultät mit einem Bruch darstellen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:46 So 13.05.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
wie gesagt, habe ich die Formel dafür auch nachschlagen müssen.
> Also
> kann ich die Zahlenfolge 3 * 5 * 7 * 9 * 11 * ...... nicht
> als Fakultät mit einem Bruch darstellen?
> Aber der Bruch hat ja dann immer die Form, dass oben so eine Art n! steht, nur dass die positiven zahlen fehlen und unten steht n!
Das hast du in deinem vorherigen Beitrag festgestellt. Und ich sehe da auch keine Möglichkeit, das als Fakultät darzustellen. Weil bei Fakultät kannst du ja keine Zahl "verschwinden" lassen, was du hier ja mit allen geraden Zahlen machen müsstest.
MfG
|
|
|
| |
|
Ist dann wohl auch gar nicht mehr so einfach den Konvergenzradius der Taylorreihe zu bestimmen, zumal diese Schreibeweise für mich mathematisch nicht korrekt ist bzw. ich damit nicht weiterrechnen kann
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:15 Mo 14.05.2007 | | Autor: | wauwau |
[mm] \wurzel{1+x}=1+\bruch{1}{2}x+\summe_{k=2}^{\infty}(-1)^{k-1}\bruch{1*3\cdots(2k-3)}{2*4\cdots(2k)}x^{k} [/mm]
[mm] 1*3\cdots(2k-3) [/mm] = [mm] \bruch{1*2*3*4*\cdots(2k-2)}{2*4*6*\cdots(2k-2)} [/mm] = [mm] \bruch{(2k-2)!}{2^{k-1}(k-1)!}
[/mm]
[mm] 2*4\cdots(2k)=2^{k}*k!
[/mm]
Das sollte dir helfen...
Jetzt kannst du mit der Stirlingschen Formel versuchen, den Konvergenzradius abzuschätzen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 06:50 Mo 14.05.2007 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo.
3 * 5 * 7 * 9 * 11 .... = (2n+1)! wobei n=1, 2 ....
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 07:14 Mo 14.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
3 * 5 * 7 * 9 * 11 .... = (2n+1)! ist sicherlich falsch.
Es gilt:
(2n+1)!= 1*2*3*...*(2n)*(2n+1)
Was ginge, wäre:
$3*5*7* ... * (2n-1)* (2n+1)= [mm] \bruch{(2n+1)!}{ 2*(n!) }$ [/mm]
Dabei ist die Klammer im Nenner nicht notwendig und wurde hier nur zur Verdeutlichung gesetzt!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:10 Mo 14.05.2007 | | Autor: | wauwau |
[mm] \wurzel{1+x}=1+\bruch{1}{2}x+\summe_{k=2}^{\infty}(-1)^{k-1}\bruch{1*3\cdots(2k-3)}{2*4\cdots(2k)}x^{k} [/mm]
[mm] 1*3\cdots(2k-3) [/mm] = [mm] \bruch{1*2*3*4*\cdots(2k-2)}{2*4*6*\cdots(2k-2)} [/mm] = [mm] \bruch{(2k-2)!}{2^{k-1}(k-1)!}
[/mm]
[mm] 2*4\cdots(2k)=2^{k}*k!
[/mm]
Das sollte dir helfen...
|
|
|
| |
|
OK, dann ist die Summenschreibweise der Reihe
1 + [mm] \bruch{1}{2} \cdot{} \bruch{1}{1!} [/mm] x - [mm] \bruch{1}{2^2} \cdot{} \bruch{1}{2!} x^2 [/mm] + [mm] \bruch{3}{2^3} \cdot{} \bruch{1}{3!} x^3 [/mm] - [mm] \bruch{3 \cdot{} 5}{2^4} \cdot{} \bruch{1}{4!} x^4 [/mm] + [mm] \bruch{3 \cdot{} 5 \cdot{} 7}{2^5} \cdot{} \bruch{1}{5!} x^5 [/mm] - ...
1 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x + [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{(2n-3)!}{2^n \cdot{} n! \cdot{} 2 \cdot{} (n-1)!} \cdot{} x^n \cdot{} (-1)^{n-1}
[/mm]
oder???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 Mo 14.05.2007 | | Autor: | wauwau |
[mm] \wurzel{1+x}=1+\bruch{1}{2}x+\summe_{k=2}^{\infty}(-1)^{k-1}\bruch{(2k-2)!}{2^{2k-1}k!(k-1)!}x^{k} [/mm]
|
|
|
| |
|
Hast du meinen Ausdruck nochmals vereinfacht? bzw. wie bist du drauf gekommen? bzw. stimmt meine erste Summenformel nicht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Mo 14.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Der Nenner in deiner Summe stimmt nicht...
|
|
|
| |
|
yeah jetzt hab ich's selbst richtig umgeformt, oder???
1 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x + [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{(2n-3)!}{2^{n} \cdot{} n! \cdot{} 2^{n-2} \cdot{} (n-2)!} \cdot{} x^n \cdot{} (-1)^{n-1} [/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 Di 15.05.2007 | | Autor: | wauwau |
ja so kann man es auch schreiben...
|
|
|
|
