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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Sa 06.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Wir hatten die Aufgabe die Taylorreihe für f(x) = [mm] x/(2+x^2) [/mm] mit Entwicklungsstelle [mm] x_0=0 [/mm] zu bestimmen.
T[f,0]= [mm] \sum_{j=0}^\infty \frac{(-1)^j}{2^{j+1}} x^{2j+1}
[/mm]
Ist ja soweit klar ;)
Nun hat mein Professor dazugeschrieben: [mm] f^{(j)} [/mm] (0)= (2j+1)! [mm] \frac{{-1}^j}{2^{j+1}}
[/mm]
Ich hab versucht das zu verstehen, indem ich gleichsetzte:
[mm] \sum_{j=0}^\infty \frac{(-1)^j}{2^{j+1}} x^{2j+1} [/mm] = [mm] \sum_{j=0}^\infty \frac{f^{(j)}(0)}{j!} x^j
[/mm]
Kann mir das vlt kurz wer erklären?
Mfg LU
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 Sa 06.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Lu-,
> Wir hatten die Aufgabe die Taylorreihe für f(x) =
> [mm]x/(2+x^2)[/mm] mit Entwicklungsstelle [mm]x_0=0[/mm] zu bestimmen.
> T[f,0]= [mm]\sum_{j=0}^\infty \frac{(-1)^j}{2^{j+1}} x^{2j+1}[/mm]
>
> Ist ja soweit klar ;)
>
> Nun hat mein Professor dazugeschrieben: [mm]f^{(j)}[/mm] (0)=
> (2j+1)! [mm]\frac{{-1}^j}{2^{j+1}}[/mm]
So, so. Dies ist falsch, wie Du schon für $j=0$ siehst.
Für gerade $j$ ist [mm] $f^{(j)}(0)=0$. [/mm] Jedenfalls, wenn Deine Taylorreihe richtig ist.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 Sa 06.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Und wie kann ich aus der Taylorreihe, den Wert [mm] f^{(j)} [/mm] (0) herausfinden?
Ich hatte ja an soetwas wie einen koeffizientenvergleich gedacht:
$ [mm] \sum_{j=0}^\infty \frac{(-1)^j}{2^{j+1}} x^{2j+1} [/mm] $ = $ [mm] \sum_{j=0}^\infty \frac{f^{(j)}(0)}{j!} x^j [/mm] $
Aber ich weiß nicht so recht wie ich hier gleichsetzten soll ..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Sa 06.10.2012 | | Autor: | Helbig |
> Und wie kann ich aus der Taylorreihe, den Wert [mm]f^{(j)}[/mm] (0)
> herausfinden?
> Ich hatte ja an soetwas wie einen koeffizientenvergleich
> gedacht:
> [mm]\sum_{j=0}^\infty \frac{(-1)^j}{2^{j+1}} x^{2j+1}[/mm] =
> [mm]\sum_{j=0}^\infty \frac{f^{(j)}(0)}{j!} x^j[/mm]
> Aber ich weiß
> nicht so recht wie ich hier gleichsetzten soll ..
Schreib doch:
[mm]\sum_{j=0}^\infty \frac{(-1)^j}{2^{j+1}} x^{2j+1}[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k[/mm].
Und dann setze $k=2j+1$, und schreibe den Koeffizienten für $j=(k-1)/2$.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:47 So 07.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Ah okay danke ;)
[mm] f^{(k)} [/mm] (0)= [mm] \frac{k! (-1)^{\frac{k-1}{2}}}{2^{\frac{k+1}{2}}}
[/mm]
Würde das passen?
Mfg,
LU
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:54 So 07.10.2012 | | Autor: | Helbig |
> Ah okay danke ;)
>
> [mm]f^{(k)}[/mm] (0)= [mm]\frac{k! (-1)^{\frac{k-1}{2}}}{2^{\frac{k+1}{2}}}[/mm]
>
> Würde das passen?
Sieht gut aus! Allerdings gilt die Formel nur für ungerade $k$. Für gerade $k$ ist die k-te Ableitung 0.
Gruß Wolfgang.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:10 So 07.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Jap, danke ;))
Mfg LU
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