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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Di 01.11.2011 | | Autor: | Docci |
| Aufgabe | | Taylorreihe der Funktion [mm] f(x)=\bruch{(e^{x}-1)}{x} [/mm] |
Die Taylorreihe der Funktion [mm] f(x)=e^{x}=\summe_{k=0}^{n}\bruch{x^{k}}{k!} [/mm] ist klar
mir ist allerdings nicht ersichtlich, dass die Taylorreihe der Funktion [mm] f(x)=\bruch{(e^{x}-1)}{x}=\summe_{k=0}^{n}\bruch{x^{k}}{(k+1)!}
[/mm]
ist
die Ableitungen der Funktion sind ja
[mm] f'(x)=\bruch{e^{x}(x-1)+1}{x^{2}}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{e^{x}(x^{2}-2x+2)-2}{x^{3}}
[/mm]
...
Ich hoffe ihr könnt mir helfen!
MfG
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Hallo Docci,
> Taylorreihe der Funktion [mm]f(x)=\bruch{(e^{x}-1)}{x}[/mm]
> Die Taylorreihe der Funktion
> [mm]f(x)=e^{x}=\summe_{k=0}^{n}\bruch{x^{k}}{k!}[/mm] ist klar
>
> mir ist allerdings nicht ersichtlich, dass die Taylorreihe
> der Funktion
> [mm]f(x)=\bruch{(e^{x}-1)}{x}=\summe_{k=0}^{n}\bruch{x^{k}}{(k+1)!}[/mm]
> ist
>
> die Ableitungen der Funktion sind ja
>
> [mm]f'(x)=\bruch{e^{x}(x-1)+1}{x^{2}}[/mm]
>
> [mm]f''(x)=\bruch{e^{x}(x^{2}-2x+2)-2}{x^{3}}[/mm]
>
> ...
Brauchst du nicht, du kannst es aus der bekannten Reihendarstellung von [mm]e^x[/mm] herleiten:
[mm]e^{x}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\cdot{}x^k=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\mathcal O\left(x^4\right)[/mm]
Damit [mm]e^{x}-1=x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\mathcal O\left(x^4\right)=\sum\limits_{\red{k=1}}^{\infty}\frac{1}{k!}\cdot{}x^k[/mm]
Das noch durch [mm]x[/mm] teilen bzw. mit [mm]\frac{1}{x}[/mm] mult.:
[mm]\frac{e^x-1}{x}=\frac{1}{x}\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}\cdot{}x^k=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}\cdot{}x^{k-1}[/mm]
Nun mache eine kleine Indexverschiebung und lasse die letzte Summe bei [mm]k=0[/mm] starten ...
>
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen!
> MfG
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:34 Di 01.11.2011 | | Autor: | Docci |
doch so einfach ;)
danke für die schnelle antwort!
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