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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 So 17.08.2008 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe | | Entwickle die Funktion [mm] f(z)=\bruch{1}{(1-2z)^2} [/mm] in ihre Taylorreihe um 0. Wo konvergiert diese? |
Hallo zusammen!
Auch hier wieder eine Aufgabe aus meiner Klausur in Komplexer Analysis.
Die Taylorreihe ist doch im Grunde genommen eine spezielle Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n [/mm] , bei der die Koeffizienten [mm] a_n [/mm] alle von der Form [mm] a_n=\bruch{f^{(n)}(z_0)}{n!} [/mm] sind. Ist das soweit richtig?
Ich habe zuerst auch versucht, die Koeffizienten [mm] a_n [/mm] über diese Formel zu bestimmen, allerdings hat das nicht geklappt, weil ich nicht wusste, wie ich die n-te Ableitung von f bestimmen sollte.
Also hab ich einfach mal auf's Geratewohl angefangen, die Funktion in eine stinknormale Potenzreihe zu entwickeln. Und irgendwie schein das wohl der richtige Weg zu sein, weil der Prof es in seiner Musterlösung scheinbar auch so gemacht hat.
Dazu hab ich mal ein paar Fragen.
1) Heißt das, dass Taylor- und Potenzreihen das gleiche sind?
2) Wenn ich eine Funktion in eine Potenzreihe entwickle, ist das dann IMMER auch gleichzeitig die Taylorreihe der Funktion?
Ich hab mal bei Wikipedia nachgeguckt (unter Taylorreihe) und hab da folgende Aussagen gefunden, die mich etwas verwirren:
1) In der Analysis verwendet man Taylorreihen (auch Taylor-Entwicklungen oder Taylor-Näherung), um Funktionen in der Umgebung bestimmter Punkte durch Potenzreihen darzustellen.
2) Die Taylorreihe (oder Taylor-Reihe) einer Funktion f in einem Punkt ist die Potenzreihenentwicklung der Funktion an diesem Punkt.
3) Viele bekannte Funktionen lassen sich durch Potenzreihen darstellen, die dann gleichzeitig Taylorreihen der Funktion sind.
So, jetzt bin ich ganz verwirrt. Also Aussage 1) sagt mir doch, dass Taylorreihen eine Möglichkeit sind, eine Funktion als Potenzreihe darzustelen. Folgerung für mich: Eine Taylorreihen ist eine spezielle Potenzreihe. Richtig?
Aussage 2) heißt für mich: Die Taylorreihe einer Funktion f in einem Punkt ist gleich der Potenzreihe (das ist doch das gleiche wie Potenzreihenentwicklung, oder?) der Funktion an diesem Punkt. Folgerung für mich: Taylorreihe = Potenzreihe. Richtig? Oder macht das "in" einem Punkt und "an" einem Punkt auch noch einen Unterschied?
Und Aussage 3 heißt für mich, dass in manchen Fällen die Taylorreihe und die Potenzreihe gleich sind. Folgerung für mich: Im allgemeinen gilt Taylorreihe [mm] \not= [/mm] Potenzreihe.
So, jetzt bin ich völlig verwirrt und blicke überhaupt nicht mehr durch. Was ist was und überhaupt... ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Kann mir jemand ein bisschen weiterhelfen?
LG, Nadine
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> Entwickle die Funktion [mm]f(z)=\bruch{1}{(1-2z)^2}[/mm] in ihre
> Taylorreihe um 0. Wo konvergiert diese?
> Hallo zusammen!
>
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>
> Auch hier wieder eine Aufgabe aus meiner Klausur in
> Komplexer Analysis.
>
> Die Taylorreihe ist doch im Grunde genommen eine spezielle
> Potenzreihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n[/mm] , bei der die
> Koeffizienten [mm]a_n[/mm] alle von der Form
> [mm]a_n=\bruch{f^{(n)}(z_0)}{n!}[/mm] sind. Ist das soweit richtig?
>
> Ich habe zuerst auch versucht, die Koeffizienten [mm]a_n[/mm] über
> diese Formel zu bestimmen, allerdings hat das nicht
> geklappt, weil ich nicht wusste, wie ich die n-te Ableitung
> von f bestimmen sollte.
>
> Also hab ich einfach mal auf's Geratewohl angefangen, die
> Funktion in eine stinknormale Potenzreihe zu entwickeln.
> Und irgendwie schein das wohl der richtige Weg zu sein,
> weil der Prof es in seiner Musterlösung scheinbar auch so
> gemacht hat.
>
> Dazu hab ich mal ein paar Fragen.
>
> 1) Heißt das, dass Taylor- und Potenzreihen das gleiche
> sind?
>
> 2) Wenn ich eine Funktion in eine Potenzreihe entwickle,
> ist das dann IMMER auch gleichzeitig die Taylorreihe der
> Funktion?
>
>
>
> Ich hab mal bei Wikipedia nachgeguckt (unter Taylorreihe)
> und hab da folgende Aussagen gefunden, die mich etwas
> verwirren:
>
> 1) In der Analysis verwendet man Taylorreihen (auch
> Taylor-Entwicklungen oder Taylor-Näherung), um Funktionen
> in der Umgebung bestimmter Punkte durch Potenzreihen
> darzustellen.
>
> 2) Die Taylorreihe (oder Taylor-Reihe) einer Funktion f in
> einem Punkt ist die Potenzreihenentwicklung der Funktion an
> diesem Punkt.
>
> 3) Viele bekannte Funktionen lassen sich durch Potenzreihen
> darstellen, die dann gleichzeitig Taylorreihen der Funktion
> sind.
>
> So, jetzt bin ich ganz verwirrt. Also Aussage 1) sagt mir
> doch, dass Taylorreihen eine Möglichkeit sind, eine
> Funktion als Potenzreihe darzustelen. Folgerung für mich:
> Eine Taylorreihen ist eine spezielle Potenzreihe. Richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aussage 2) heißt für mich: Die Taylorreihe einer Funktion f
> in einem Punkt ist gleich der Potenzreihe (das ist doch das
> gleiche wie Potenzreihenentwicklung, oder?) der Funktion an
> diesem Punkt. Folgerung für mich: Taylorreihe =
> Potenzreihe. Richtig? Oder macht das "in" einem Punkt und
> "an" einem Punkt auch noch einen Unterschied?
>
> Und Aussage 3 heißt für mich, dass in manchen Fällen die
> Taylorreihe und die Potenzreihe gleich sind. Folgerung für
> mich: Im allgemeinen gilt Taylorreihe [mm]\not=[/mm] Potenzreihe.
>
>
>
> So, jetzt bin ich völlig verwirrt und blicke überhaupt
> nicht mehr durch. Was ist was und überhaupt...
>
> Kann mir jemand ein bisschen weiterhelfen?
Ich kann Deine Verwirrung verstehen. Ich will mich auch nicht als grossen Experten aufspielen: ich sage Dir nur kurz, wie ich dieses Begriffsknäuel aufzulösen pflege.
Eine Potenzreihe ist eine unendliche Reihe der Form [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n$, [/mm] mit [mm] $a_n\in\IC$. [/mm] Ob eine solche Reihe konvergiert und wenn ja, für welche $z$, lassen wir mal aussen vor.
Dann gibt es die Taylorreihe: ist eine Funktion [mm] $\infty$-oft [/mm] differenzierbar, so kann man rein formal die Potenzreihe [mm] $T_{f,z_0}(x):= \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n$ [/mm] ansetzen. Diese Potenzreihe nennt man nur wegen der formalen Herkunft ihrer Koeffizienten [mm] $a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}$ [/mm] eine Taylorreihe.
So gesehen ist also, wie Du selbst festgestellt hast, jede Taylorreihe eine Potenzreihe. Aber wenn ich Dir eine einigermassen skurrile Potenzreihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n$, [/mm] wie z.B. [mm] $\sum_{n=0}^\infty n!(z-z_0)^n$, [/mm] vorlege, dann dürfte es zumindest nicht einfach sein, eine Funktion $f(z)$ anzugeben, so dass diese Reihe auch die Taylorreihe von $f(z)$ mit Entwicklungspunkt [mm] $z_0$ [/mm] ist.
Zentral ist nun der Satz, dass $f$ genau dann analytisch/holomorph in [mm] $z_0$ [/mm] ist, wenn die Taylorreihe von $f$ in einer Umgebung von [mm] $z_0$ [/mm] konvergiert und in dieser ganzen Umgebung von [mm] $z_0$ [/mm] die Funktion $f$ darstellt. Also [mm] $f(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n$.
[/mm]
Für das praktische Rechnen auch fundamental ist, dass in diesem Falle die Koeffizienten der Taylorreihe/Potenzreihe eindeutig bestimmt sind. Wenn Du also einen anderen Weg als das Herleiten einer allgemeinen Formel für [mm] $f^{(n)}(z_0)$ [/mm] finden kannst, um eine Entwicklung [mm] $f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$ [/mm] von $f$ in einer gewissen Umgebung von [mm] $z_0$ [/mm] zu bestimmen, dann hast Du mit dieser Potenzreihe zugleich die Taylorreihe bestimmt und es muss gelten, dass [mm] $f^{(n)}(z_0)=n!\cdot a_n$ [/mm] ist, für alle [mm] $n\in\IN_0$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Di 19.08.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Somebody!
Vielen Dank für deine Erklärung, ich denke, ich habe es verstanden ![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]") .
Ich habe die Funktion [mm] f(z)=\bruch{1}{(1-2z)^2} [/mm] jetzt folgendermaßen entwickelt:
[mm] (\bruch{1}{(1-2z)})'=2*\bruch{1}{(1-2z)^2}=2*f(z)
[/mm]
[mm] \Rightarrow f(z)=\bruch{1}{2}*(\bruch{1}{(1-2z)})'
[/mm]
Nun die Entwicklung von [mm] \bruch{1}{(1-2z)} [/mm] um den Punkt [mm] z_0=0:
[/mm]
[mm] \bruch{1}{(1-2z)}=\summe_{n=0}^{\infty}(2z)^n=\summe_{n=0}^{\infty}2^n*z^n=\summe_{n=0}^{\infty}2^n*(z-0)^n [/mm] für [mm] |2z|<1\gdw2|z|<1\gdw|z|<\bruch{1}{2}
[/mm]
Nun die Ableitung: [mm] (\summe_{n=0}^{\infty}2^n*z^n)'=\summe_{n=1}^{\infty}n*2^n*z^{n-1}=\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)*2^{n+1}*z^n
[/mm]
Jetzt zusammensetzen: [mm] f(z)=\bruch{1}{2}*(\bruch{1}{(1-2z)})'=\bruch{1}{2}*\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)*2^{n+1}*z^n=\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)*2^n*z^n=\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)*2^n*(z-0)^n
[/mm]
Und damit sind [mm] a_n=(n+1)*2^n [/mm] die Koeffizienten der Taylorreihe von f.
Ist das so richtig?
LG, Nadine
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> Hallo Somebody!
>
> Vielen Dank für deine Erklärung, ich denke, ich habe es
> verstanden .
>
>
>
> Ich habe die Funktion [mm]f(z)=\bruch{1}{(1-2z)^2}[/mm] jetzt
> folgendermaßen entwickelt:
>
> [mm](\bruch{1}{(1-2z)})'=2*\bruch{1}{(1-2z)^2}=2*f(z)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f(z)=\bruch{1}{2}*(\bruch{1}{(1-2z)})'[/mm]
>
> Nun die Entwicklung von [mm]\bruch{1}{(1-2z)}[/mm] um den Punkt
> [mm]z_0=0:[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{(1-2z)}=\summe_{n=0}^{\infty}(2z)^n=\summe_{n=0}^{\infty}2^n*z^n=\summe_{n=0}^{\infty}2^n*(z-0)^n[/mm]
> für [mm]|2z|<1\gdw2|z|<1\gdw|z|<\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Nun die Ableitung:
> [mm](\summe_{n=0}^{\infty}2^n*z^n)'=\summe_{n=1}^{\infty}n*2^n*z^{n-1}=\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)*2^{n+1}*z^n[/mm]
>
> Jetzt zusammensetzen:
> [mm]f(z)=\bruch{1}{2}*(\bruch{1}{(1-2z)})'=\bruch{1}{2}*\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)*2^{n+1}*z^n=\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)*2^n*z^n=\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)*2^n*(z-0)^n[/mm]
>
> Und damit sind [mm]a_n=(n+1)*2^n[/mm] die Koeffizienten der
> Taylorreihe von f.
>
> Ist das so richtig?
Ja, ich denke dies ist alles richtig. Insbesondere ist das Ergebnis richtig (dies kannst Du ja auch selbst mit Hilfe eines CAS sehen).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Di 19.08.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Somebody!
> Ja, ich denke dies ist alles richtig. Insbesondere ist das
> Ergebnis richtig (dies kannst Du ja auch selbst mit Hilfe
> eines CAS sehen).
Vielen Dank fürs nachgucken. Was genau meinst du damit, das insbesondere das Ergebnis richtig ist? Meinst du meine berechnete Reihe, oder dass die [mm] a_n [/mm] die Koeffizienten der Taylorreihe sind? Und noch eine kurze Frage: Was ist ein CAS?
Ok, dann war in der Aufgabe ja noch die Frage, wo die Taylorreihe konvergiert. Also ich weiß, dass Potenzreihen immer in der offenen Kreisschreibe mit Konvergenzradius R um den Entwicklungspunkt konvergieren, also in [mm] D_R(z_0). [/mm] Und [mm] R=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}}. [/mm] Da die Taylorreihe ja eine Potenzreihe ist, müsste ich das ja dann eigentlich anwenden können, oder?
Hier mal meine Rechnung dazu:
[mm] R=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|(n+1)2^n|}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{(n+1)2^n}} [/mm] [Der Betrag kann weg, da n>0.]
[mm] =\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n+1}*\wurzel[n]{2^n}} [/mm]
[mm] =\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n+1}*(2^n)^{\bruch{1}{n}}} [/mm]
[mm] =\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n+1}*2} [/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n+1}}
[/mm]
Bleibt nur noch die Berechnung des Limes superior für [mm] \wurzel[n]{n+1}. [/mm] Der bereitet mir etwas Schwierigkeiten, da man n ja nicht "nacheinander" gegen [mm] \infty [/mm] laufen lassen kann.
Wenn der Limes superior existiert, dann ist er doch gleich dem Grenzwert, oder? Ich hab jetzt mal verucht, den Grenzwert mit Umformung zu lösen, komme allerdings auch nicht so ganz weiter. Hier mal meine Umformung:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n*(1+\bruch{1}{n})}=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n}*\wurzel[n]{1+\bruch{1}{n}}=\limes_{n\rightarrow\infty}n^{\bruch{1}{n}}*\wurzel[n]{1+\bruch{1}{n}}=1*\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{1+\bruch{1}{n}}
[/mm]
So, für [mm] n\to\infty [/mm] läuft [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ja gegen 0, und wenn ich dann die n-te Wurzel aus 1+0 ziehen würde... aber das geht ja eben nicht so nacheinander... Ich weiß nicht, wie ich jetzt den Limes erhalte.
Könntest du mir weiterhelfen?
LG, Nadine
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> Hallo Somebody!
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> > Ja, ich denke dies ist alles richtig. Insbesondere ist das
> > Ergebnis richtig (dies kannst Du ja auch selbst mit Hilfe
> > eines CAS sehen).
>
> Vielen Dank fürs nachgucken. Was genau meinst du damit, das
> insbesondere das Ergebnis richtig ist? Meinst du meine
> berechnete Reihe, oder dass die [mm]a_n[/mm] die Koeffizienten der
> Taylorreihe sind? Und noch eine kurze Frage: Was ist ein
> CAS?
CAS := "Computer Algebra System". Du hast doch neulich mit Maple komplexe Funktionen zu zeichnen versucht. Maple ist ein CAS. Von dem kannst Du sicher die Taylorentwicklung von [mm] $1/(1-2z)^2$ [/mm] erhalten: zumindest ein Anfangsstück davon. Hier der Output von MuPAD, einen anderen CAS,
[Dateianhang nicht öffentlich]
rot meine Eingaben, blau die Antwort des CAS. Erste Eingabe liefert Anfangsstück der Taylorentwicklung, zweite Eingabe liefert die Liste der ersten Koeffizienten, die Deine Lösung angibt. Vergleich dieser Koeffzienten dient als Fehlerkontrolle.
>
>
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> Ok, dann war in der Aufgabe ja noch die Frage, wo die
> Taylorreihe konvergiert. Also ich weiß, dass Potenzreihen
> immer in der offenen Kreisschreibe mit Konvergenzradius R
> um den Entwicklungspunkt konvergieren, also in [mm]D_R(z_0).[/mm]
> Und [mm]R=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}}.[/mm]
> Da die Taylorreihe ja eine Potenzreihe ist, müsste ich das
> ja dann eigentlich anwenden können, oder?
Ja, Du kannst dies hier Anwenden, und es ist sicher eine gute Übung. Aber eigentlich wissen wir aufgrund der Herleitung der Taylorentwicklung über eine geometrische Reihe, die nur unter der Bedingung $|2z|<1$, d.h. [mm] $|z|<\frac{1}{2}$ [/mm] konvergiert (und die für [mm] $|z|>\frac{1}{2}$ [/mm] divergiert), dass der Konvergenzradius der gliedweise abgeleiteten Reihe ebenfalls [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] sein muss.
> Hier mal meine Rechnung dazu:
>
> [mm]R=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|(n+1)2^n|}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{(n+1)2^n}}[/mm]
> [Der Betrag kann weg, da n>0.]
>
> [mm]=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n+1}*\wurzel[n]{2^n}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n+1}*(2^n)^{\bruch{1}{n}}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n+1}*2}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n+1}}[/mm]
>
>
>
> Bleibt nur noch die Berechnung des Limes superior für
> [mm]\wurzel[n]{n+1}.[/mm] Der bereitet mir etwas Schwierigkeiten, da
> man n ja nicht "nacheinander" gegen [mm]\infty[/mm] laufen lassen
> kann.
Natürlich weiss man in der Regel, dass [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n+1}=1$ [/mm] ist (beweist man einmal und wiederholt den Beweis später nicht mehr). Eventuell hilft Dir auch folgende Umformung
[mm]\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n+1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\mathrm{e}^{\frac{\ln(n+1}{n}}=\mathrm{e}^{\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\ln(n+1)}{n}}=\mathrm{e}^0=1[/mm]
... oder sie hilft Dir nicht: hängt davon ab, wie offensichtlich der Limes von [mm] $\frac{\ln(n+1)}{n}$ [/mm] für Dich ist.
>
> Wenn der Limes superior existiert, dann ist er doch gleich
> dem Grenzwert, oder?
Nein: Der Limes superior kann existieren ohne dass der Grenzwert zu existieren braucht. Stell Dir mal vor, Deine Reihe hätte die Koeffizienten [mm] $a_n=(n+1)2^n$ [/mm] für gerades $n$ und [mm] $a_n=0$ [/mm] für ungerades $n$. Der Limes superior wäre noch immer derselbe, aber der Grenzwert von [mm] $\sqrt[n]{|a_n|}$ [/mm] würde nicht existieren.
> Ich hab jetzt mal verucht, den
> Grenzwert mit Umformung zu lösen, komme allerdings auch
> nicht so ganz weiter. Hier mal meine Umformung:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n*(1+\bruch{1}{n})}=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n}*\wurzel[n]{1+\bruch{1}{n}}=\limes_{n\rightarrow\infty}n^{\bruch{1}{n}}*\wurzel[n]{1+\bruch{1}{n}}=1*\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{1+\bruch{1}{n}}[/mm]
Aha! - Lustig, Du weisst zwar, dass [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n}=1$ [/mm] ist, fühlst Dich aber bei [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n+1}$ [/mm] unsicher.
>
> So, für [mm]n\to\infty[/mm] läuft [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ja gegen 0, und wenn
> ich dann die n-te Wurzel aus 1+0 ziehen würde... aber das
> geht ja eben nicht so nacheinander... Ich weiß nicht, wie
> ich jetzt den Limes erhalte.
[mm] $1+\frac{1}{n}$ [/mm] ist doch sogar durch eine Konstante beschränkt (und wäre zweifellos auch durch $n$ beschränkt). Z.B., sofern [mm] $n\geq [/mm] 2$,
[mm]1=\sqrt[n]{1}\leq \sqrt[n]{1+\frac{1}{n}}\leq \sqrt[n]{1+1}\leq \sqrt[n]{n}\rightarrow 1[/mm]
Die letzte Abschätzung mit [mm] $\sqrt[n]{n}$ [/mm] habe ich nur der Pedanterie zuliebe dazugegeben und weil Du ja oben zu erkennen gabst, dass Du den Grenzwert dieses Terms sehr wohl kennst.
Es gilt sogar allgemein: ist $p(n)$ eine ganzrationale Funktion in $n$ (aber nicht gerade das Nullpolynom), dann ist [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|p(n)|}=1$. [/mm] Dies kann man z.B. mit der obigen Umformung über [mm] $\mathrm{e}^{\ln|p(n)|/n}$ [/mm] leicht zeigen.
Aus diesem Grund lässt sich ja eine Potenzreihe beliebig oft ableiten, ohne dass sich ihr Konvergenzradius dadurch ändert (beim Ableiten wird ja sukzessive ein polynomialer Faktor $p(n)$ immer höheren Grades an die ursprünglichen Koeffizienten [mm] $a_n$ [/mm] ranmultipliziert!)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Mi 20.08.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Somebody!
> Aber eigentlich wissen wir aufgrund der
> Herleitung der Taylorentwicklung über eine geometrische
> Reihe, die nur unter der Bedingung [mm]|2z|<1[/mm], d.h.
> [mm]|z|<\frac{1}{2}[/mm] konvergiert (und die für [mm]|z|>\frac{1}{2}[/mm]
> divergiert), dass der Konvergenzradius der gliedweise
> abgeleiteten Reihe ebenfalls [mm]\frac{1}{2}[/mm] sein muss.
D.h. immer wenn ich eine Funktion über die geometrische Reihe entwickle, ist der Konvergenzradius IMMER gleich der Bedingung, unter der die geometrische Reihe gilt?
> ... oder sie hilft Dir nicht: hängt davon ab, wie
> offensichtlich der Limes von [mm]\frac{\ln(n+1)}{n}[/mm] für Dich
> ist.
Hmm, eher weniger offensichtlich 
> Aha! - Lustig, Du weisst zwar, dass
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n}=1[/mm] ist, fühlst Dich
> aber bei [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n+1}[/mm] unsicher.
Hmm, ja, keine Ahnung Kann ich die [mm]\ +1 [/mm] im Unendlichen quasi einfach vernachlässigen?
LG, Nadine
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> Hallo Somebody!
>
>
>
> > Aber eigentlich wissen wir aufgrund der
> > Herleitung der Taylorentwicklung über eine geometrische
> > Reihe, die nur unter der Bedingung [mm]|2z|<1[/mm], d.h.
> > [mm]|z|<\frac{1}{2}[/mm] konvergiert (und die für [mm]|z|>\frac{1}{2}[/mm]
> > divergiert), dass der Konvergenzradius der gliedweise
> > abgeleiteten Reihe ebenfalls [mm]\frac{1}{2}[/mm] sein muss.
>
> D.h. immer wenn ich eine Funktion über die geometrische
> Reihe entwickle, ist der Konvergenzradius IMMER gleich der
> Bedingung, unter der die geometrische Reihe gilt?
Dies möchte ich nicht in dieser Allgemeinheit behauptet haben, einfach weil mir diese Formulierung "immer wenn ich eine Funktion über die geometrische Reihe entwickle" etwas, wie soll ich sagen, zu diffus ist. Jedenfalls hat sich bei keinem der Schritte Deines "Entwickelns" der Taylorreihe aus einer geometrischen Reihe der Konvergenzradius der Potenzreihe verändert. Z.B. gliedweises Ableiten hat den Konvergenzradius nicht verändert.
> > ... oder sie hilft Dir nicht: hängt davon ab, wie
> > offensichtlich der Limes von [mm]\frac{\ln(n+1)}{n}[/mm] für Dich
> > ist.
>
> Hmm, eher weniger offensichtlich
Und wie steht es mit dem Limes [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{p(n)}{\mathrm{e}^n}=0$, [/mm] für eine beliebige ganzrationale Funktion $p(n)$? Dass exponentielles Wachstum in diesem Sinne jedes polynomiale Wachstum "totschlägt", lernt man doch schon im ersten Semester, nicht?
Bei dieser Gelegenheit lernt man dann auch, dass [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{ln(n)}{n^\varepsilon}=0$ [/mm] für alle [mm] $\varepsilon>0$. [/mm] D.h. der Logarithmus wächst langsamer als jede Potenzfunktion mit noch so kleinem positivem Exponenten.
> > Aha! - Lustig, Du weisst zwar, dass
> > [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n}=1[/mm] ist, fühlst Dich
> > aber bei [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n+1}[/mm] unsicher.
>
> Hmm, ja, keine Ahnung Kann ich die [mm]\ +1[/mm] im
> Unendlichen quasi einfach vernachlässigen?
Du kannst im Argument von [mm] $\sqrt[n]{\ldots}$ [/mm] noch viel massivere Operationen vernachlässigen, wie etwa das Erheben zur $k$-ten Potenz für beliebiges, aber festes [mm] $k\in \IN$: [/mm] denn es ist
[mm]\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{n^k}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{n}\right)^k=\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n}\right)^k=1^k=1[/mm]
Damit Du etwas Grösseres als $1$ erhältst, musst Du im Grunde einen mindestens exponentiell wachsenden Term im Radikanden dazugeben. In $n$ bloss polynomial wachsende Terme bringen den Limes jedenfalls nicht auf einen Wert grösser als $1$. Und dass [mm] $1=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n}\leq\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{n+1}$ [/mm] ist, muss ja schon wegen der Monotonie der $n$-ten Wurzel klar sein.
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