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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Sa 16.08.2008 | | Autor: | MALPI |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Taylorreihen folgender Funktionen:
a) f(x) := (x + [mm] y)^r, [/mm] Entwicklungspunkt x = 0. Hierbei seien y, r ∈ R Konstanten.
Der Fall r < 0 und y = 0 sei ausgeschlossen. |
Moin moin,
ich komme nicht ganz auf die Taylorreihe die ich rauskriegen soll....
Also erstmal habe ich die ersten Ableitungen der Funktionen berechnet:
f'(x) = r*(x+y)^(r-1)
f''(x) = r*(r-1)*(x+y)^(r-2)
f'''(x) = r*(r-1)*(r-2)*(x+y)^(r-3)
[mm] \Rightarrow \produkt_{n=0}^{\infty} [/mm] r!*(x+y)^(r-n)
Beim Entwicklungspunkt [mm] x_0 [/mm] = 0 macht das dann
[mm] \produkt_{n=0}^{\infty} [/mm] r!*(y)^(r-n)
ein Taylorpolynom drücke ich mit
[mm] T_n^x_0f [/mm] = [mm] \summe_{k= 0}^{n} [/mm] (f^(k) [mm] (x_0)/k!)*(x-x_0)^k [/mm] aus
das macht dann mit [mm] x_0 [/mm] = 0
[mm] \summe_{k=0}^{n}(f^{k} (0)/k!)*(x)^k [/mm]
aber wie drücke ich damit nun mein Beispiel aus?
MfG
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Hallo MALPI,
> Berechnen Sie die Taylorreihen folgender Funktionen:
> a) f(x) := (x + [mm]y)^r,[/mm] Entwicklungspunkt x = 0. Hierbei
> seien y, r ∈ R Konstanten.
> Der Fall r < 0 und y = 0 sei ausgeschlossen.
> Moin moin,
>
> ich komme nicht ganz auf die Taylorreihe die ich
> rauskriegen soll....
>
> Also erstmal habe ich die ersten Ableitungen der Funktionen
> berechnet:
>
> f'(x) = r*(x+y)^(r-1)
> f''(x) = r*(r-1)*(x+y)^(r-2)
> f'''(x) = r*(r-1)*(r-2)*(x+y)^(r-3)
>
> [mm]\Rightarrow \produkt_{n=0}^{\infty}[/mm] r!*(x+y)^(r-n)
Nicht ganz:
[mm]f^{n}\left(x\right)=\bruch{r!}{n!}*(x+y)^{r-n}}[/mm]
> Beim Entwicklungspunkt [mm]x_0[/mm] = 0 macht das dann
> [mm]\produkt_{n=0}^{\infty}[/mm] r!*(y)^(r-n)
Das ergibt dann für den Entwicklungspunkt x=0:
[mm]f^{n}\left(0\right)=\bruch{r!}{n!}*y^{r-n}}[/mm]
>
> ein Taylorpolynom drücke ich mit
>
> [mm]T_n^x_0f[/mm] = [mm]\summe_{k= 0}^{n}[/mm] (f^(k) [mm](x_0)/k!)*(x-x_0)^k[/mm]
> aus
>
> das macht dann mit [mm]x_0[/mm] = 0
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}(f^{k} (0)/k!)*(x)^k[/mm]
>
> aber wie drücke ich damit nun mein Beispiel aus?
Jetzt
[mm]f^{k}\left(0\right)=\bruch{r!}{k!}*y^{r-k}}[/mm]
in die Formel für das Taylorpolynom einsetzen.
>
> MfG
>
Gruß
MathePower
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