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| Aufgabe | Bestimmen Sie für die folgende Funktion f das Taylorpolynom zweiten
Grades um den Punkt x0 und schätzen Sie den Fehler zur Ursprungsfunktion f (grob) im
angegebenen Bereich ab. Es sei f (x) =ln(1 + x2) [mm] ;\left| x \right|\le10^{-1}; [/mm] x0 = 0 |
Hallo Zusammen
Ich habe leider keine Ahnung wie ich die Aufgabe lösen soll.
Es wäre echt super wenn mir jemand dabei helfen könnte.
Vielen Dank im Voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:59 Sa 05.07.2008 | | Autor: | olivercan |
Sorry habe einen kleinen Eingabefehler gemacht die Funtktion f lautet ln(1 + [mm] x^2)
[/mm]
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Na da...
Also zuerst stellst du das zweite Taylorpolynom auf, es gilt [mm] T_{n}(x) [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n}\bruch{f^{(i)}(x_{0})}{i!}(x-x_{0})^{i}. [/mm] Nach dem taylor'schen Satz ist f(x) = [mm] T_{n}(x) [/mm] + [mm] R_{n}(x), [/mm] für den Fehler brauchst du also [mm] R_{n}(x). [/mm] Das ist [mm] \bruch{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1} [/mm] mit 0 [mm] \le \xi \le [/mm] x. Da du ausserdem noch weisst, dass x [mm] \le 10^{-1}, [/mm] kannst du R abschätzen.
Das sollte reichen :)
Edit: Hab den Fehler korrigiert, danke schachuzipus.
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Hi Antipro.
Danke für deine schnelle Antwort.
Doch weiß ich leider nicht was ich für i , n , k und das xi einsetzten soll.
Kannst du mir das vielleicht erklären?
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Hallo olivercan,
nicht verwirren lassen 
Oben hat sich bei der Formel für das n-te Taylorpolynom ein kleiner Fehler eingeschlichen, DerAntiPro hat sich bei dem Exponenten von [mm] $(x-x_0)$ [/mm] vertippt, das muss natürlich [mm] $(x-x_0)^{\red{i}}$ [/mm] heißen, nicht [mm] $(x-x_0)^{\red{k}}$
[/mm]
Das i ist nur Hilfsvariable, das ist der Laufindex für die Summe, für dich ist eher das [mm] $\blue{n}$ [/mm] spannend, du sollst ja das TP [mm] \blue{n=2-ten} [/mm] Grades bestimmen.
Also berechne [mm] $T_{\blue{2}}(x,x_0)=\sum\limits_{i=0}^{\blue{2}}\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}\cdot{}(x-x_0)^{i}$
[/mm]
Das [mm] $x_0$ [/mm] ist bei dir ...
Die Funktion f ist das [mm] $\ln(1+x^2)$
[/mm]
Das [mm] $f^{(i)}(x_0)$ [/mm] steht einfach für die i-te Ableitung von f an der Stelle [mm] x_0
[/mm]
Wenn du etwas unsicher mit der Summenschreibweise bist, so schreibe die obige Summe mal im Detail aus, es sind ja nur 3 Summanden (für i=0,1,2) und setze alles ein, was du gegeben hast, f, [mm] x_0 [/mm] ...
Dann besteht die eigentliche Arbeit im Ableiten deiner Funktion ...
Berechne also mal in Ruhe das TP, um die Abschätzung des Restgliedes kümmern wir uns nachher, dazu brauchst du die $(n+1)-te$, also die 3. Ableitung der Funktion f, die kannst du ja schonmal mit berechnen, wenn du gerade dabei bist
Also guten Start!
LG
schachuzipus
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Hi Schachuzipus .
Sry dass ich mich erst jetzt melde (hatte einiges zu erledigen).
Danke für deine Antwort , doch wenn ich dich richtig verstehe muss ich die 0te 1te und 2te Ableitung von [mm] ln(1+x^2) [/mm] berechnen .
Wie berechne ich denn die 0te Ableitung einer Funktion ? Ist es vielleicht immer 0?
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Hallo olivercan,
> Hi Schachuzipus .
> Sry dass ich mich erst jetzt melde (hatte einiges zu
> erledigen).
> Danke für deine Antwort , doch wenn ich dich richtig
> verstehe muss ich die 0te 1te und 2te Ableitung von
> [mm]ln(1+x^2)[/mm] berechnen .
> Wie berechne ich denn die 0te Ableitung einer Funktion ?
> Ist es vielleicht immer 0?
Die 0.te Ableitung einer Funktion ist die Funktion selbst.
Gruß
MathePower
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Danke für deine Hilfe Mathpower.
Für x0=0 bekomme ich dann als Ergebniss [mm] T2=x^2
[/mm]
Wie muss ich nun vorgehen um das Restglied abzuschätzen?
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Hallo olivercan,
> Danke für deine Hilfe Mathpower.
> Für x0=0 bekomme ich dann als Ergebniss [mm]T2=x^2[/mm]
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie muss ich nun vorgehen um das Restglied abzuschätzen?
>
Für die Restgliedabschätzung kannst Du z.B. das ![[]](/images/popup.gif) Restglied nach Lagrange verwenden.
Das Restglied mußt Du dann abschätzen:
[mm]\vmat{R_{n}\left(x\right)}=\vmat{\bruch{f^{n+1}\left(\nu\right)}{\left(n+1\right)!}*\left(x-x_{0}\right)^{n+1}[/mm]
Gruß
MathePower
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Ich habe $ [mm] ;\left| x \right|\le10^{-1}; [/mm] $ und xo=0 gegeben.
Soll ich für das xi einfach eine Zahl zwischen 0 und x einsetzen und für x 10^-1 und dann einfach ausrechnen oder wie muss ich da herangehen?
Danke im Voraus.
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Hallo olivercan,
> Ich habe [mm];\left| x \right|\le10^{-1};[/mm] und xo=0 gegeben.
> Soll ich für das xi einfach eine Zahl zwischen 0 und x
> einsetzen und für x 10^-1 und dann einfach ausrechnen oder
> wie muss ich da herangehen?
Schätze erstmal [mm]\bruch{f^{3}\left(\nu\right)}{3!}[/mm] im betreffenden Intervall ab.
Auch kannst Du [mm]\vmat{\left(x-x_{0}\right)^{3}}[/mm] ebenfalls im betreffenden Intervall abschätzen.
Demnach gilt:
[mm] \vmat{R_{n}\left(x\right)}=\vmat{\bruch{f^{n+1}\left(\nu\right)}{\left(n+1\right)!}\cdot{}\left(x-x_{0}\right)^{n+1} } \le max \ \left\{\vmat{\bruch{f^{n+1}\left(\nu\right)}{\left(n+1\right)!}}, \ \vmat{\nu} \le 0.1 \right\}*max \ \left\{\vmat{ \left(x-0\right)^{n+1} }, \ \vmat{x} \le 0.1 \right\}[/mm]
> Danke im Voraus.
Gruß
MathePower
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