Taylorreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Di 19.02.2008 | | Autor: | koko |
Hallo an alle mathe interessierte,
hätte folgende frage zur taylorentwicklung folgender funktion.
ich soll das taylorpolynom um x=0 entwickeln und eine formel für die unendliche Ableitung finden und diese mittels vollständiger Induktion beweisen.
[mm] f(x)=\left( \bruch{1-x}{1+x} \right)
[/mm]
wie würdet ihr das angehen?....ich habs mit dem ableiten probiert aber da hab ich nach 3 ableitungen aufgegeben weil dann alles unübersichtlich wurde.
Außerdem ne grundsätzliche frage hätte ich noch, was ist eigentlich der genaue unterschied von potenzreihe und taylorreihe......und wie gehe ich am besten eine taylorentwicklung an???
Wäre sehr dankbar wenn da mir jemand weiterhelfen könnte.
Danke im Voraus
mfg koko
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo koko,
> Hallo an alle mathe interessierte,
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> hätte folgende frage zur taylorentwicklung folgender
> funktion.
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> ich soll das taylorpolynom um x=0 entwickeln und eine
> formel für die unendliche Ableitung finden und diese
> mittels vollständiger Induktion beweisen.
>
> [mm]f(x)=\left( \bruch{1-x}{1+x} \right)[/mm]
>
> wie würdet ihr das angehen?....ich habs mit dem ableiten
> probiert aber da hab ich nach 3 ableitungen aufgegeben weil
> dann alles unübersichtlich wurde.
ich würde als erstes [mm]f\left(x\right)[/mm] etwas anders schreiben:
[mm]f(x)=\left( \bruch{1-x}{1+x} \right)=\left( \bruch{-x-1+2}{1+x} \right)=\left(-1\right)+\bruch{2}{1+x} [/mm]
Nun kannst Du fröhlich ableiten und eine Formel für diese Ableitungen finden.
>
> Außerdem ne grundsätzliche frage hätte ich noch, was ist
> eigentlich der genaue unterschied von potenzreihe und
> taylorreihe......und wie gehe ich am besten eine
> taylorentwicklung an???
Potenzreihe um [mm]x_{0}[/mm]: [mm]\summe_{n=0}^{\infty}{a_{n}*\left(x-x_{0}\right)^{n}[/mm] (![[]](/images/popup.gif) Potenzreihe)
Taylorreihe um [mm]x_{0}[/mm]: [mm]\summe_{n=0}^{\infty}{\bruch{f^{n}\left(x_{0}\right)}{n!}*\left(x-x_{0}\right)^{n}[/mm] (Taylorreihe)
Wie man sieht, ist das Glied [mm]a_{n}[/mm] bei der Taylorreihe vorgegeben.
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> Wäre sehr dankbar wenn da mir jemand weiterhelfen könnte.
>
> Danke im Voraus
>
> mfg koko
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Di 19.02.2008 | | Autor: | koko |
hallo mathepower,
danke für deine rasche antwort, hast mir weitergeholfen...
ich krieg dann das folgende taylorpolynom:
−1 + [mm] 2*\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n*x^n
[/mm]
kann das stimmen?
und für die formel der unendlichen ableitung krieg ich raus:
[mm] f(x)^n=(-1)^n*2*n!/(1+x)^{n+1}
[/mm]
richtig?
wiederum ein Dankeschön im Voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 Di 19.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo koko!
> ich krieg dann das folgende taylorpolynom:
>
> −1 + [mm]2*\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n*x^n[/mm]
Schau Dir das erste Glied mit $f(0)_$ nochmal genau an.
Und dann kannst Du die Reihe auch bei $n \ = \ [mm] \red{0}$ [/mm] starten lassen.
> und für die formel der unendlichen ableitung krieg ich raus:
>
> [mm]f(x)^n=(-1)^n*2*n!/(1+x)^{n+1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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