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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 Sa 11.04.2015 | | Autor: | Jeremias |
| Aufgabe | | Berechnen Sie für [mm] e^{x} [/mm] und sin(x) und a [mm] \in \IR [/mm] die jeweilige Taylorreihe [mm] T_{f,a}(x). [/mm] Zeigen Sie, dass diese gegen die jeweilige Funktion konvergieren. |
Hallo,
ich habe mir schon viel über Taylorreihen durchgelesen und für den Entwicklungspunkt a = 0 kann ich diese auch bestimmen. Da hier jedoch ein beliebiger Entwicklungspunkt gesucht ist, ist das jedoch etwas schwieriger.
Hier einmal, was ich bis jetzt habe:
Das das ganze noch neu für mich ist, schildere ich mal meine Vorgehensweise.
1.) Einige Ableitungen von f(x) bilden und schauen, ob ich darin ein gewisses Muster erkenne:
f(x) = [mm] e^{x}, [/mm] f'(x) = [mm] e^{x}, [/mm] f''(x) = [mm] e^{x}, [/mm] f'''(x) = [mm] e^{x}, [/mm] ..., [mm] f^{(k)} [/mm] (x) = [mm] e^{x}
[/mm]
2.) Taylorreihe aufstellen:
[mm] T_{f,a}(x) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{e^{a}}{k!} [/mm] * [mm] (x-a)^{k}
[/mm]
3.) Konvergenz überprüfen (mit Restglied von Lagrange):
z.Z.: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} R_{n}(x) [/mm] = 0
[mm] R_{n}(x) [/mm] = [mm] \bruch{f^{(n)}(\mu)}{n!} [/mm] * [mm] (x-a)^{n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{e^{\mu}}{n!} [/mm] * [mm] (x-a)^{n} [/mm]
[mm] \le \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] M * [mm] \bruch{(x-a)^{n}}{n!} [/mm] = 0 ,
da die Fakultät schneller wächst als die Potenz.
Soweit so gut, nun zum Sinus. Die Schwierigkeit hier ist mMn, dass die Ableitungen nicht wie beim Entwicklungspunkt x = 0 immer 1,0 und -1 sind, sondern ja beliebige Werte zwischen 0 und 1 annimmt.
1.) Ableitungen:
f(x) = sin(x), f'(x) = cos(x), f''(x) = -sin(x), f'''(x) = -cos(x), f''''(x) = sin(x), usw.
Hier erkenne ich, dass sich die Funktion nach 3x Ableiten wiederholt. Ich definiere:
z(x) = [mm] f^{(n)}(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} (-1)^{m} * sin(x), & \mbox{für } n = 2m \mbox{} \\ (-1)^{m} * cos(x), & \mbox{für } n = 2m + 1 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
2.) Taylorreihe bilden
[mm] T_{f,a}(x) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z(a)}{k!} [/mm] * [mm] (x-a)^{k}
[/mm]
3.) Konvergenz:
z.Z.: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} R_{n}(x) [/mm] = 0
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{z(\mu)}{n!} [/mm] * [mm] (x-a)^{n}
[/mm]
[mm] \le \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n!} [/mm] * [mm] (x-a)^{n} [/mm] = 0
Soweit bin ich bisher gekommen. Es wäre super, wenn jemand sagen könnte, ob ich im Fall des Sinus die n-te Ableitung so angeben und auch so in die Taylorreihe schreiben kann. Desweiteren wäre es toll, wenn jemand sagen könnte, ob ich die Konvergenzen in 3.) richtig gemacht habe.
Liebe Grüße
Jeremias
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Jeremias,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechnen Sie für [mm]e^{x}[/mm] und sin(x) und a [mm]\in \IR[/mm] die
> jeweilige Taylorreihe [mm]T_{f,a}(x).[/mm] Zeigen Sie, dass diese
> gegen die jeweilige Funktion konvergieren.
> Hallo,
>
> ich habe mir schon viel über Taylorreihen durchgelesen und
> für den Entwicklungspunkt a = 0 kann ich diese auch
> bestimmen. Da hier jedoch ein beliebiger Entwicklungspunkt
> gesucht ist, ist das jedoch etwas schwieriger.
>
> Hier einmal, was ich bis jetzt habe:
>
> Das das ganze noch neu für mich ist, schildere ich mal
> meine Vorgehensweise.
>
> 1.) Einige Ableitungen von f(x) bilden und schauen, ob ich
> darin ein gewisses Muster erkenne:
>
> f(x) = [mm]e^{x},[/mm] f'(x) = [mm]e^{x},[/mm] f''(x) = [mm]e^{x},[/mm] f'''(x) =
> [mm]e^{x},[/mm] ..., [mm]f^{(k)}[/mm] (x) = [mm]e^{x}[/mm]
>
> 2.) Taylorreihe aufstellen:
>
> [mm]T_{f,a}(x)[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{e^{a}}{k!}[/mm] *
> [mm](x-a)^{k}[/mm]
>
> 3.) Konvergenz überprüfen (mit Restglied von Lagrange):
>
> z.Z.: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} R_{n}(x)[/mm] = 0
>
> [mm]R_{n}(x)[/mm] = [mm]\bruch{f^{(n)}(\mu)}{n!}[/mm] * [mm](x-a)^{n}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{e^{\mu}}{n!}[/mm] * [mm](x-a)^{n}[/mm]
>
>
> [mm]\le \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] M * [mm]\bruch{(x-a)^{n}}{n!}[/mm] =
> 0 ,
>
> da die Fakultät schneller wächst als die Potenz.
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Soweit so gut, nun zum Sinus. Die Schwierigkeit hier ist
> mMn, dass die Ableitungen nicht wie beim Entwicklungspunkt
> x = 0 immer 1,0 und -1 sind, sondern ja beliebige Werte
> zwischen 0 und 1 annimmt.
>
> 1.) Ableitungen:
>
> f(x) = sin(x), f'(x) = cos(x), f''(x) = -sin(x), f'''(x) =
> -cos(x), f''''(x) = sin(x), usw.
>
> Hier erkenne ich, dass sich die Funktion nach 3x Ableiten
> wiederholt. Ich definiere:
>
> z(x) = [mm]f^{(n)}(x)[/mm] = [mm]\begin{cases} (-1)^{m} * sin(x), & \mbox{für } n = 2m \mbox{} \\ (-1)^{m} * cos(x), & \mbox{für } n = 2m + 1 \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> 2.) Taylorreihe bilden
>
> [mm]T_{f,a}(x)[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z(a)}{k!}[/mm] *
> [mm](x-a)^{k}[/mm]
>
> 3.) Konvergenz:
>
> z.Z.: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} R_{n}(x)[/mm] = 0
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{z(\mu)}{n!}[/mm] *
> [mm](x-a)^{n}[/mm]
>
> [mm]\le \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n!}[/mm] * [mm](x-a)^{n}[/mm] =
> 0
>
> Soweit bin ich bisher gekommen. Es wäre super, wenn jemand
> sagen könnte, ob ich im Fall des Sinus die n-te Ableitung
> so angeben und auch so in die Taylorreihe schreiben kann.
> Desweiteren wäre es toll, wenn jemand sagen könnte, ob
> ich die Konvergenzen in 3.) richtig gemacht habe.
>
Das gilt sogar für alle Ableitungen, da [mm]\vmat{z\left(\mu\right)} \le 1[/mm].
> Liebe Grüße
>
> Jeremias
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
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