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Taylorreihe: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:44 Sa 22.02.2014
Autor: Babybel73

Aufgabe
Berechne die Taylorreihe von
f: [mm] \IR \to \IR, f(x)=(x^2-3x+1)(x-2) [/mm] um [mm] x_0=2 [/mm]
und bestimme jeweils den Konvergenzradius.

Hallo zusammen.

Brauche Hilfe zu obiger Aufgabe...
Also ich habe die Ableitungen berechnet:
[mm] f'(x)=3x^2-10x+7 [/mm]
f''(x)=6x-10
f'''(x)=6

So nun habe ich [mm] x_0=2 [/mm] in die Funktion und die Ableitungen eingesetzt:
f(2)=0
f'(2)=-1
f''(2)=2
f'''(2)=6

Damit erhalte ich ja das Taylorpolynom:
[mm] T_3(x)=-(x-2)+(x-2)^2+(x-2)^3 [/mm]

Und was ist den jetzt die Taylorreihe?

Vielen Dank für eure Hilfe!


        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:55 Sa 22.02.2014
Autor: Nick13

Die Taylorreihe einer Funktion f im Entwicklungspunkt [mm]x_0[/mm] ist [mm]T(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k[/mm].

Weißt du jetzt, wie die Taylorreihe lautet?

Bezug
                
Bezug
Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:02 Sa 22.02.2014
Autor: Babybel73


> Die Taylorreihe einer Funktion f im Entwicklungspunkt [mm]x_0[/mm]
> ist [mm]T(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k[/mm].
>
> Weißt du jetzt, wie die Taylorreihe lautet?


Hallo Nick13
Nein, nicht wirklich. Ich habe ja keine allgemeine Ableitung....


Bezug
                        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:03 Sa 22.02.2014
Autor: Nick13

Du hast doch schon die ersten drei Ableitungen. Wie sieht denn die nächste Ableitung aus? Und die danach?

Bezug
                                
Bezug
Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:07 Sa 22.02.2014
Autor: Babybel73

Hallo Nick

Ja die sind alle 0. Aber wie schreibe ich das jetzt in die allgemeine Formel rein?

Bezug
                                        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:11 Sa 22.02.2014
Autor: Nick13

Ab k=4 fallen doch alle Summanden weg. D.h. die Taylorreihe ist gleich dem Taylorpolynom dritter Ordnung. Und das hast du ja schon bestimmt.

Bezug
                                                
Bezug
Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:13 Sa 22.02.2014
Autor: Babybel73

Aha.....
Und wie bestimme ich denn jetzt den Konvergenzradius?

Bezug
                                                        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:21 Sa 22.02.2014
Autor: Nick13

Da die Taylorreihe hier ja nur eine endliche Summe ist, konvergiert sie natürlich für jedes [mm]x\in\mathbb{R}.[/mm] Der Konvergenzradius ist also [mm]r=\infty.[/mm]

Wenn man es noch rechnerisch beweisen will, kann man das mit der Formel von Cauchy-Hadamard machen: [mm]r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt{0}}=\frac{1}{0}.[/mm] Und beim Konvergenzradius ist das definiert als [mm]\infty[/mm]. Dabei ist [mm]a_n:=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}.[/mm]

Bezug
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