Taylorpolynom mehrdimensional < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Di 07.02.2012 | | Autor: | lzaman |
Hallo, ich hätte mal eine Bitte, und zwar habe ich mir mal eine Formel für das Taylorpolynom vom Grad 2 (ohne Restglied) gebastelt.
Der Entwicklungspunkt ist hier mit [mm](x_0,y_0,z_0)[/mm] angegeben.
[mm]f[/mm] ist der Funktionswert der Funktion [mm]f(x,y,z)[/mm]
[mm]T_2=f+f_x \cdot (x-x_0)+f_y \cdot (y-y_0)+f_z \cdot (z-z_0)+\dfrac{f_{xx}}{2!} \cdot (x-x_0)^2+\dfrac{f_{yy}}{2!} \cdot (y-y_0)^2+\dfrac{f_{zz}}{2!} \cdot (z-z_0)^2+f_{xy} \cdot (x-x_0)(y-y_0)+f_{xz} \cdot (x-x_0)(z-z_0)+f_{yz} \cdot (y-y_0)(z-z_0).[/mm]
Wäre nett, wenn Ihr diese mal prüfen könntet.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Di 07.02.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo, ich hätte mal eine Bitte, und zwar habe ich mir mal
> eine Formel für das Taylorpolynom vom Grad 2 (ohne
> Restglied) gebastelt.
>
> Der Entwicklungspunkt ist hier mit [mm](x_0,y_0,z_0)[/mm]
> angegeben.
> [mm]f[/mm] ist der Funktionswert der Funktion [mm]f(x,y,z)[/mm]
>
> [mm]T_2=f+f_x \cdot (x-x_0)+f_y \cdot (y-y_0)+f_z \cdot (z-z_0)+\dfrac{f_{xx}}{2!} \cdot (x-x_0)^2+\dfrac{f_{yy}}{2!} \cdot (y-y_0)^2+\dfrac{f_{zz}}{2!} \cdot (z-z_0)^2+f_{xy} \cdot (x-x_0)(y-y_0)+f_{xz} \cdot (x-x_0)(z-z_0)+f_{yz} \cdot (y-y_0)(z-z_0).[/mm]
Wenn du mit [mm] $f_x$, $f_{y^2}$, $f_{xz}$ [/mm] etc. jeweils die entsprechenden Ableitungen ausgewertet in [mm] $(x_0, y_0, z_0)$ [/mm] meinst, dann stimmt es. Natuerlich vorausgesetzt, die Funktion ist oft genug stetig differenzierbar, damit [mm] $f_{xy} [/mm] = [mm] f_{yx}$ [/mm] gilt etc.
LG Felix
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