Taylorpolynom für lnx < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 So 25.06.2006 | | Autor: | the_boss |
| Aufgabe | | Bestimmen sie für f(X)=lnx mit (x>0) das Taylorpolynom P2(x) [Entwicklungsstelle x0=1] und führen sie für 0,9 < x < 1,1 eine Fehlerabschätzung durch. Vergleichen sie die Abschätzung des Fehlers mit f(0,9)-P2(0,9) <-- Betrag davon |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Da Taylorpolynome nicht gerade zu meinen Stärken zählen, schreib ich erst mal auf, was ich habe.
f(X)=lnx f(x0)=0
f '(X)=1/x f'(x0)=1
f '' (x)=-1/x² f''(x0)=-1
f '''(x)=2/x³ f'''(x0)=2
P0(x)=0 ???
P1(x)=x-1
P2(x)=-0,5x² + 2x - 1,5
dann hab ich noch Xi mit f '(Xi)=[f(1,1)-f(0,9)] / [1,1-0,9] ausgerechnet --> Xi = 0,99666
Jetzt weiss ich allerdings nicht wirklich, wie ich weitermachen soll...Vielleicht kann mir ja jemand erklären, was noch zu machen ist...Danke schon mal im voraus, Gruß The_Boss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 So 25.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo the boss
> Bestimmen sie für f(X)=lnx mit (x>0) das Taylorpolynom
> P2(x) [Entwicklungsstelle x0=1] und führen sie für 0,9 < x
> < 1,1 eine Fehlerabschätzung durch. Vergleichen sie die
> Abschätzung des Fehlers mit f(0,9)-P2(0,9) <-- Betrag
> davon
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Da Taylorpolynome nicht gerade zu meinen Stärken zählen,
> schreib ich erst mal auf, was ich habe.
>
> f(X)=lnx f(x0)=0
> f '(X)=1/x f'(x0)=1
> f '' (x)=-1/x² f''(x0)=-1
> f '''(x)=2/x³ f'''(x0)=2
>
> P0(x)=0 ???
> P1(x)=x-1
> P2(x)=-0,5x² + 2x - 1,5
richtig, obwohl man besser die ursprüngliche Schreibweise :
[mm] P2(x)=(x-1)+0,5*(x-1)^{2} [/mm] beibehält.
> dann hab ich noch Xi mit f '(Xi)=[f(1,1)-f(0,9)] /
> [1,1-0,9] ausgerechnet --> Xi = 0,99666
Was das Xi sein soll weiss ich nicht, du hast die Steigung der Sehne zw. 0,9 und 0,1 ausgerechnet, die ist ungefähr 1 was sich mit f'(1)=1 deckt.
Aber sonst seh ich keinen Zusammenhang zw. Taylor und deinem f'(xi)
Den Fehler kann man abschätzen durch das Restglied [mm] R_{2}(x)=1/3!* [/mm] f'''(xi) (x- [mm] 1)^{3} [/mm] Abschätzung in [0.9,1.1] [mm] |R|\le [/mm] 1/3!f'''(0.9)*0.1^(3)
Damit hast du den geschätzten Fehler.
Der "wirkliche Fehler ist einfach ln1,1-P2(1,1) bzw ln(0,9)-P2(0,9)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 So 25.06.2006 | | Autor: | the_boss |
Die beiden Werte für f(o,9)-P2(0,9) bzw. f(1,1)-P2(1,1) hatte ich schon berechnet. [3,6 * 10^-4 bzw. 3,1 * 10^-4]
Und jetzt soll ich also die beiden Werte mit dem abgeschätzten Fehler (4,5 * 10^-4) vergleichen (gegenüberstellen)??? Wenn das alles war/ist, danke für deine Hilfe. Dann wäre ja bei dieser Art von Aufgabe nicht wirklich viel zu tun...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 So 25.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo the boss
Wir legen Wert auf nette Umgangsformen, unter anderem begrüßt man sich.
> Die beiden Werte für f(o,9)-P2(0,9) bzw. f(1,1)-P2(1,1)
> hatte ich schon berechnet. [3,6 * 10^-4 bzw. 3,1 * 10^-4]
> Und jetzt soll ich also die beiden Werte mit dem
> abgeschätzten Fehler (4,5 * 10^-4) vergleichen
> (gegenüberstellen)??? Wenn das alles war/ist, danke für
> deine Hilfe.
Völlig richtig, aber man kriegt ein Gefühl dafür, wie gut die Taylorpolynome und die Fehlerabschätzungen sind!
Gruss leduart
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