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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Zecha |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] gegeben durch [mm] f(x)=\begin{cases} e^{-\bruch{1}{x}} , & x>0 \\ o, & x\le0 \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie:
Zu jedem [mm] n\in \IN [/mm] gibt es ein Polynom [mm] p_{n} [/mm] mit
[mm] f^{(n)}(x)=p_{n}(\bruch{1}{x})e^{\bruch{1}{x}} [/mm] für x>0 |
Hi Leute,
Das ist die Aufgabe und ich habe keine ahnung wie ich das zeigen soll.
Bitte helft mir ;)
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Mo 18.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] gegeben durch [mm]f(x)=\begin{cases} e^{-\bruch{1}{x}} , & x>0 \\ o, & x\le0 \end{cases}[/mm]
>
> Zeigen Sie:
> Zu jedem [mm]n\in \IN[/mm] gibt es ein Polynom [mm]p_{n}[/mm] mit
> [mm]f^{(n)}(x)=p_{n}(\bruch{1}{x})e^{\bruch{1}{x}}[/mm] für x>0
> Hi Leute,
>
> Das ist die Aufgabe und ich habe keine ahnung wie ich das
> zeigen soll.
Zeige es mit Induktion !
FRED
> Bitte helft mir ;)
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Zecha |
Öhm und wie genau??
Aba erstma danke für die schnelle antwort.
Ich weiß nich wirklich wie es jetz weiter geht mit Induktion. Induktion ist mir schon bekannt, und das ich das dann für n+1 zeigen muss, aber dann hängts auch schon.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Mo 18.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Ich mach Dir mal ein ähnliches Beispiel vor:
Sei f(x) = [mm] e^{x^2}
[/mm]
Beh: zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] gibt es ein Polynom [mm] p_n [/mm] mit: [mm] $f^{(n)}(x) [/mm] = [mm] p_n(x)*f(x)$
[/mm]
Beweis (Induktion):
n=1: $f'(x) = 2xf(x)$.
ind. Vor:: Sei n [mm] \in \IN, p_n [/mm] ein Polynom und [mm] $f^{(n)}(x) [/mm] = [mm] p_n(x)*f(x)$
[/mm]
n [mm] \to [/mm] n+1: Mit der Ind. -Vor. und der Produktregel folgt:
[mm] $f^{(n+1)}(x) [/mm] = [mm] p_n'(x)*f(x)+p_n(x)*f'(x) [/mm] = [mm] p_n'(x)*f(x)+p_n(x)*2x*f(x)= (p_n'(x)+2xp_n(x))*f(x)= p_{n+1}(x)*f(x)$
[/mm]
wobei [mm] $p_{n+1}(x)= p_n'(x)+2xp_n(x)$
[/mm]
FERTIG
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:40 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Zecha |
Super danke^^
Jetz schaff ich das.
Nun noch eine kleine Fagre: wie zeige ich, dass die Funktion f(x) bliebig oft differenzierbar ist und das [mm] f^{(n)}(0)=0 [/mm] für alle [mm] n\in\IN?
[/mm]
Bitte helft mir
Gruß Zecha
Ich habe diese frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Zecha |
Auch würd ich gern wissen, wie sich das erklärt: Für alle n [mm] \in\IN_{0} [/mm] ist das Taylorpolynom n-ter Ordnung von f in 0 das Nullpolynom.
Vielen dank schonmal im vorraus.
Auch diese frage wurde in noch keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:31 Di 19.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Auch würd ich gern wissen, wie sich das erklärt: Für
> alle n [mm]\in\IN_{0}[/mm] ist das Taylorpolynom n-ter Ordnung von f
> in 0 das Nullpolynom.
Du hast doch: $ [mm] f^{(k)}(0)=0 [/mm] $ für alle $ [mm] k\in\IN_0 [/mm] $
Nun schau Dir nochmal die Def. von $Taylorpolynom$ an
FRED
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> Vielen dank schonmal im vorraus.
>
> Auch diese frage wurde in noch keinem anderen Forum
> gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 20.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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