Taylorpolynom < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:48 Do 25.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
| Aufgabe | Sei f : [−1, 1] [mm] \rightarrow [/mm] R definiert durch f(x) = [mm] exp(cos(x^2)).
[/mm]
Bestimmen Sie eine Konstante K > 0 so, dass für das zweite Taylorpolynom [mm] P_{2,0} [/mm] von f
die Abschätzung |f(x) − [mm] P_{2,0}(x)| \le K|x|^3 [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [−1, 1] gilt. |
Hallo,
zunächst einmal muss ich ja berechnen:
[mm] P_{2,0}(x)=a_0+a_1x+a_2x^2, [/mm] wobei [mm] a_k=\bruch{f^{(k)}(a)}{k!}
[/mm]
Die Ableitungen habe ich mit Mathematica berechnet, weil nach der 1. Ableitung die 2. mir ziemlich lang erschien (gibt es einen kürzeren Weg, um die 2. Abl. zu berechnen oder zu zeigen, dass diese ohnehin an der Stelle f''(0)=0 ist?).
Um das Restglied zu ermitteln muss man berechnen:
[mm] R_{2,0} [/mm] = [mm] P_{2,0} [/mm] + "3. Ableitung" (ebenfalls mit Mathematica).
Insgesamt ist dann [mm] P_{2,0}=e. [/mm] Eine ziemlich unergiebige Taylorentwicklung im Punkt 0, oder?
Wenn ich jetzt noch das Restglied berechne, was ja ebenfalls 0 ergibt, oder bin ich hier schon falsch?
Hat jemand einen Tipp für mich?
Danke schön und schöne Weihnachten, Stefan.
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Hallo stefan00,
> Sei f : [−1, 1] [mm]\rightarrow[/mm] R definiert durch f(x) =
> [mm]exp(cos(x^2)).[/mm]
> Bestimmen Sie eine Konstante K > 0 so, dass für das zweite
> Taylorpolynom [mm]P_{2,0}[/mm] von f
> die Abschätzung |f(x) − [mm]P_{2,0}(x)| \le K|x|^3[/mm] für
> alle x [mm]\in[/mm] [−1, 1] gilt.
> Hallo,
>
> zunächst einmal muss ich ja berechnen:
> [mm]P_{2,0}(x)=a_0+a_1x+a_2x^2,[/mm] wobei
> [mm]a_k=\bruch{f^{(k)}(a)}{k!}[/mm]
> Die Ableitungen habe ich mit Mathematica berechnet, weil
> nach der 1. Ableitung die 2. mir ziemlich lang erschien
> (gibt es einen kürzeren Weg, um die 2. Abl. zu berechnen
> oder zu zeigen, dass diese ohnehin an der Stelle f''(0)=0
> ist?).
Schaut man genauer hin, dann stellt man fest, daß diese Funktion
symmetrisch zu x=0 ist, das heißt an x=0 muß ein Wendepunkt vorliegen.
Und die Bedingung für einen Wendepunkt ist nun mal f''(x))=0.
> Um das Restglied zu ermitteln muss man berechnen:
> [mm]R_{2,0}[/mm] = [mm]P_{2,0}[/mm] + "3. Ableitung" (ebenfalls mit
> Mathematica).
> Insgesamt ist dann [mm]P_{2,0}=e.[/mm] Eine ziemlich unergiebige
> Taylorentwicklung im Punkt 0, oder?
> Wenn ich jetzt noch das Restglied berechne, was ja
> ebenfalls 0 ergibt, oder bin ich hier schon falsch?
Die Taylorpolonome ersten bis dritten Grades stimmen hier überein.
Das heißt, hier muß [mm]R_{3}\left(x\right)[/mm] berechnet werden.
>
> Hat jemand einen Tipp für mich?
>
> Danke schön und schöne Weihnachten, Stefan.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Do 25.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo MathePower,
> Schaut man genauer hin, dann stellt man fest, daß diese
> Funktion
> symmetrisch zu x=0 ist, das heißt an x=0 muß ein
> Wendepunkt vorliegen.
> Und die Bedingung für einen Wendepunkt ist nun mal
> f''(x))=0.
ja, ok, das stimmt, aber wie beweise ich das dann, ohne die Ableitungen formal durchzuführen?
> Die Taylorpolonome ersten bis dritten Grades stimmen hier
> überein.
ok, sie sind alle 0, erst beim 4. Grad wird es [mm] \not= [/mm] 0.
> Das heißt, hier muß [mm]R_{3}\left(x\right)[/mm] berechnet werden.
also muss ich noch die 4. Ableitung berechnen? Aber das geht doch nicht per Hand, da sitze ich ja Stunden dran, oder sehe ich das falsch?
Und dann muss ich ja berechnen [mm]|f(x) - P_{2,0}(x)| \le K|x|^3 [/mm], also
[mm] |exp(cos(x^2))-e|, [/mm] richtig? Aber wie rechne ich dann weiter?
Vielen Dank, Gruß, Stefan.
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Hallo stefan00,
> Hallo MathePower,
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> > Schaut man genauer hin, dann stellt man fest, daß diese
> > Funktion
> > symmetrisch zu x=0 ist, das heißt an x=0 muß ein
> > Wendepunkt vorliegen.
> > Und die Bedingung für einen Wendepunkt ist nun mal
> > f''(x))=0.
> ja, ok, das stimmt, aber wie beweise ich das dann, ohne
> die Ableitungen formal durchzuführen?
Die Symmetrie ist ja offensichtlich, denn [mm]f\left(-x\right)=f\left(x\right)[/mm]
>
> > Die Taylorpolonome ersten bis dritten Grades stimmen hier
> > überein.
> ok, sie sind alle 0, erst beim 4. Grad wird es [mm]\not=[/mm] 0.
>
> > Das heißt, hier muß [mm]R_{3}\left(x\right)[/mm] berechnet werden.
> also muss ich noch die 4. Ableitung berechnen? Aber das
> geht doch nicht per Hand, da sitze ich ja Stunden dran,
> oder sehe ich das falsch?
Tja, da wirst Du wohl durch müssen.
> Und dann muss ich ja berechnen [mm]|f(x) - P_{2,0}(x)| \le K|x|^3 [/mm],
> also
> [mm]|exp(cos(x^2))-e|,[/mm] richtig? Aber wie rechne ich dann
> weiter?
Schätze erstmal diese Ableitung, dem Betrag nach, ab.
Dann hast Du mal
[mm]\vmat{e^{\cos\left(x^{2}\right)}-e} \le \vmat{R_{3}\left(x\right)}=c*\vmat{x}^{4}[/mm]
>
> Vielen Dank, Gruß, Stefan.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:09 Fr 26.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo MathePower,
> Die Symmetrie ist ja offensichtlich, denn
> [mm]f\left(-x\right)=f\left(x\right)[/mm]
ok, auch wenn wir keine Symmetriebetrachtungen durchgenommen haben, ist mir das aus der Schule noch bekannt und auch klar.
> Tja, da wirst Du wohl durch müssen.
oh nein.
> Dann hast Du mal
>
> [mm]\vmat{e^{\cos\left(x^{2}\right)}-e} \le \vmat{R_{3}\left(x\right)}=c*\vmat{x}^{4}[/mm]
ok, aber wieso muss ich nun doch [mm] R_3 [/mm] berechnen? Das kann ich aus dem Satz von Taylor und meinen Unterlagen nicht erkennen. Ich verstehe noch nicht so ganz, wieso ich das so abschätzen muss. Laut Definition aus meinen Unterlagen heißt es:
Sei f eine Funktion, für die [mm] P_{n,a}(x) [/mm] existiert, und sei f(x) = [mm] P_{n,a}(x) [/mm] + [mm] R_{n,a}(x). [/mm] Dann wird [mm] R_{n,a}(x) [/mm] das Restglied genannt.
Korollar: Satz von Taylor: Sei f eine Funktion, für die f', . . . , [mm] f^{(n+1)} [/mm] auf einem abgeschlossenen Intervall I, das a enthält, definiert ist. Sei x [mm] \in [/mm] I, und sei f(x) = [mm] P_{n,a}(x) [/mm] + [mm] R_{n,a}(x). [/mm] Für das Restglied [mm] R_{n,a}(x) [/mm] gilt dann:
1. Es gibt ein [mm] t_1 [/mm] zwischen a und x mit [mm] R_{n,a}(x) [/mm] = [mm] \bruch{f^{(n+1)}(t_1)}{n!}(x-t_1)^{n}(x-a).
[/mm]
2. Es gibt ein [mm] t_0 [/mm] zwischen a und x mit [mm] R_{n,a}(x) [/mm] = [mm] \bruch{f^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!}(x-a)^{(n+1)}.
[/mm]
Dann gibt es noch die folgenden Darstellungen der Restglieder:
Cauchy-Form: [mm] R_{n,a}(x) [/mm] = [mm] \bruch{f^{(n+1)}(t_1)}{n!} (x-t_1)^{n}(x-a).
[/mm]
Lagrange-Form: [mm] R_{n,a}(x) [/mm] = [mm] \bruch{f^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!}(x-a)^{(n+1)}.
[/mm]
Aus den obigen Darstellungen der Restglieder erkenne ich jetzt immer nur, dass man eine Ableitung mehr ausrechnen muss, um an das Restglied zu gelangen. Deswegen verstehe ich das mit der Abschätzung bis [mm] R_3 [/mm] noch nicht.
Danke schön für die Hilfe, Gruß, Stefan.
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Hallo,
das Restglied [mm] R_n [/mm] sagt Dir ja, wie stark die Abweichung zwischen Funktion f und dem n-ten Taylorpolynom [mm] T_n [/mm] ist.
[mm] f(x)=T_n(x)+R_n(x)
[/mm]
Du sollst ja nun eine Abschätzung [mm] \le K|x|^3 [/mm] vornehmen, da bietet sich das Lagrangerestglied doch an: [mm] R_{2,0}(x) [/mm] = [mm] \frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}x^3
[/mm]
für ein ξ zwischen a und x.
Dazu brauchst Du allerdings die 3.Ableitung - was aber ja schon vorher klar war.
Nun ist mir eigentlich gar nicht mehr klar, was Deine Frage war. Ich hoffe, ich habe sie trotzdem beantwortet.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:24 Sa 27.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Du sollst ja nun eine Abschätzung [mm]\le K|x|^3[/mm] vornehmen, da
> bietet sich das Lagrangerestglied doch an: [mm]R_{2,0}(x)[/mm] =
> [mm]\bruch{f^{(3)}(0)}{(3)!}x^{3}.[/mm]
>
> Dazu brauchst Du allerdings die 3.Ableitung - was aber ja
> schon verher klar war.
ja, ok, das stimmt. Es ist nur eine furchtbar komplizierte Ableitung und ich frage mich, wie so etwas auf die Schnelle in einer Klausur berechnet werden kann. Das ist ja eine mehrfach ineinander geschachtelte Anwendung von Produkt- und Kettenregel, oder sehe ich das falsch?
> Nun ist mir eigentlich gar nicht mehr klar, was Deine Frage
> war. Ich hoffe, ich habe sie trotzdem beantwortet.
ja, hast du. Es ging mir darum, wie ich die Abschätzung vornehmen kann. Außerdem meinte MathePower, soweit ich ihn verstanden habe, dass ich noch die 4. Ableitung benötige, was mir nicht ganz klar ist/war.
Vielen Dank, Gruß, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Sa 27.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
jetzt habe ich doch noch eine Frage:
> Du sollst ja nun eine Abschätzung [mm]\le K|x|^3[/mm] vornehmen, da
> bietet sich das Lagrangerestglied doch an: [mm]R_{2,0}(x)[/mm] =
> [mm]\bruch{f^{(3)}(0)}{(3)!}x^{3}.[/mm]
>
> Dazu brauchst Du allerdings die 3.Ableitung - was aber ja
> schon verher klar war.
ja und die 3. Ableitung ist aber an der Stelle 0 ebenfalls 0, das war auch mein Problem. Es kommt nämlich überall etwas mit x in der 3. Ableitung vor, was alles zu 0 wird.
> Nun ist mir eigentlich gar nicht mehr klar, was Deine Frage
> war.
und nun?
Danke schön, Gruß, Stefan.
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> Hallo,
> jetzt habe ich doch noch eine Frage:
> > Du sollst ja nun eine Abschätzung [mm]\le K|x|^3[/mm] vornehmen,
> da
> > bietet sich das Lagrangerestglied doch an: [mm]R_{2,0}(x)[/mm] =
> > [mm]\bruch{f^{(3)}(0)}{(3)!}x^{3}.[/mm]
Hallo,
das ist natürlich verkehrt, richtig heißt es: [mm]R_{2,0}(x)[/mm] = [mm]\bruch{f^{(3)}(t_0)}{3!}x^{3}.[/mm] für ein [mm] t_0 [/mm] zwischen 0 und x.
> > Dazu brauchst Du allerdings die 3.Ableitung - was aber ja
> > schon verher klar war.
> ja und die 3. Ableitung ist aber an der Stelle 0 ebenfalls
> 0, das war auch mein Problem.
Damit hat sich dann dieses Problem gelöst: man muß also herausfinden, wie groß die 3. Ableitung im fraglichen Bereich höchstens sein kann.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Sa 27.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Damit hat sich dann dieses Problem gelöst: man muß also
> herausfinden, wie groß die 3. Ableitung im fraglichen
> Bereich höchstens sein kann.
ok, kann ich also folgendermaßen argumentieren:
x [mm] \in [/mm] [-1,1], [mm] |f(x)-P_{2,0}(x)|=|e^{cos(x^2)}-e| \le K|x|^3, [/mm] mit [mm] K=\bruch{f^{(3)}(t_0)}{3!}, [/mm] wobei 0 [mm] \le\ t_0 \le [/mm] x ist? Kann ich die Grenzen durch Einsetzen einfach ermitteln und dann sagen, wie groß K höchstens werden kann, wie hoch also der Fehler des Taylorpolynoms ist?
Vielen Dank, Gruß, Stefan.
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> ok, kann ich also folgendermaßen argumentieren:
> x [mm]\in[/mm] [-1,1], [mm]|f(x)-P_{2,0}(x)|=|e^{cos(x^2)}-e| \le K|x|^3,[/mm]
> mit [mm]K=\bruch{f^{(3)}(t_0)}{3!},[/mm] wobei 0 [mm]\le\ t_0 \le[/mm] x ist?
> Kann ich die Grenzen durch Einsetzen einfach ermitteln und
> dann sagen, wie groß K höchstens werden kann, wie hoch also
> der Fehler des Taylorpolynoms ist?
Hallo,
ja, Du mußt [mm] \bruch{f^{(3)}(t_0)}{3!} [/mm] (bzw. ggf. den Betrag davon) nach oben abschätzen. Begründet abschätzen.
Gruß v. Angela
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> > Sei f : [−1, 1] [mm]\rightarrow[/mm] R definiert durch f(x) =
> > [mm]exp(cos(x^2)).[/mm]
> Schaut man genauer hin, dann stellt man fest, daß diese
> Funktion
> symmetrisch zu x=0 ist, das heißt an x=0 muß ein
> Wendepunkt vorliegen.
Hallo,
die 2.Ableitung von f an der Stelle x=0 ist zwar =0, aber ein Wendepunkt ist da nicht.
Gruß v. Angela
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