Taylorpolynom < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 Do 09.10.2008 | | Autor: | daN-R-G |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Taylorpolynom 2. Grades der Funktion [mm]f(x,y) = x^2+xy+y^2-x-2y+3[/mm] im Entwicklungspunkt (0,1) |
Hi!
Ich bin gerade dabei, meine Unterlagen durchzugehen, und bin da bei dem Taylorpolynom hängen geblieben. Das generelle Vorgehen, wie man dieses aufstellt ist mir denke ich klar:
Ich berechne die Partiellen Ableitung bis zu der vorgegebenen Ordnung (Grad) und setze dann die Werte in die von Taylor entwickelte Formel ein.
Um nun von der oben gegebenen Funktion das Taylorpolynom (ohne Restglied) zu entwickeln, habe ich folgendes getan:
Partielle Ableitungen:
[mm]\bruch{\partial f}{\partial x} (x,y) = 2x+y-1[/mm]
[mm]\bruch{\partial f}{\partial y} (x,y) = x+2y-2[/mm]
[mm]\bruch{\partial f^2}{\partial x^2} (x,y) = 2[/mm]
[mm]\bruch{\partial f^2}{\partial xy} (x,y) = 1[/mm]
[mm]\bruch{\partial f^2}{\partial y^2} (x,y) = 2[/mm]
Doch jetzt kommt die Stelle, an der ich mir nicht ganz sicher bin, wie ich das Taylorpolynom genau aufstelle, da ich hier andauernd unterschiedliche Notationen sehe.
Generell würde ich nun so anfangen:
[mm]T_{2, (0,1)}(x,y) = f(0,1) + \bruch{\partial f}{\partial x} (0,1)x + \bruch{\partial f}{\partial y} (0,1)y + \bruch{1}{2!} ( \bruch{\partial f^2}{\partial x^2}(0,1)x^2 + 2 \cdot \bruch{\partial f^2}{\partial xy}(0,1)xy + \bruch{\partial f^2}{\partial y^2}(0,1) y^2)[/mm]
Den Punkt eingesetzt in die Funktion und die Ableitungen ergibt bei mir am Ende:
[mm]T_{2, (0,1)}(x,y) = 2+x^2+xy+y^2[/mm]
Doch jetzt Sehe ich häufig, dass in dem Taylorpolynom anstatt meinem x z.B. eine Differenz aus zwei Punkten a'la [mm](x-x_0)[/mm] bzw. [mm](x-1)[/mm] und[mm](y-2)[/mm], falls der Entwicklungspunkt [mm](1,2)[/mm] wäre, steht.
Auch als Parameter der Approximation steht häufig was von wegen [mm]f(x+h_1, y+h_2)[/mm]
Kann mir vll. jemand sagen, wie man das ganze nun Formal richtig hinschreibt?
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> Berechnen Sie das Taylorpolynom 2. Grades der Funktion
> [mm]f(x,y) = x^2+xy+y^2-x-2y+3[/mm] im Entwicklungspunkt (0,1)
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> Den Punkt eingesetzt in die Funktion und die Ableitungen
> ergibt bei mir am Ende:
> [mm]T_{2, (0,1)}(x,y) = 2+x^2+xy+y^2[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Doch jetzt Sehe ich häufig, dass in dem Taylorpolynom
> anstatt meinem x z.B. eine Differenz aus zwei Punkten a'la
> [mm](x-x_0)[/mm] bzw. [mm](x-1)[/mm] und[mm](y-2)[/mm], falls der Entwicklungspunkt
> [mm](1,2)[/mm] wäre, steht.
So wäre es richtig. Im vorliegenden Beispiel also:
[mm]T_{2, (0,1)}(x,y) = 2+(x-0)^2+(x-0)(y-1)+(y-1)^2[/mm]
Übrigens kannst du dies leicht verifizieren, indem du
alles ausmultiplizierst und zusammenfasst. Dann erhältst
du genau wieder die gegebene Funktion f(x,y).
(Dies funktioniert im Allgemeinen natürlich so nicht, aber
in diesem Fall sehr wohl, weil f(x,y) selbst ein Polynom
in x und y vom Grad 2 ist)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Do 09.10.2008 | | Autor: | daN-R-G |
Ah! Okay. Also anstatt meinen x bzw. y nehme ich dann die Differenz aus dem Funktionswert und dem Wert des Entwicklungspunktes.
Gehe ich dann recht davon aus, dass die allgemeine Formel dann so aussieht?
[mm]T_{n, (x_0,y_0)}(x,y) = f(x_0,y_0) + \bruch{1}{1!}( \bruch{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x - x_0) + \bruch{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y - y_0) )[/mm]
[mm]+ \bruch{1}{2!}( \bruch{\partial f^2}{\partial x^2}(x_0,y_0)(x - x_0)^2 + \bruch{\partial f^2}{\partial y \partial x}(x_0,y_0)(x - x_0) + \bruch{\partial f^2}{\partial x \partial y}(x_0,y_0)(y - y_0) + \bruch{\partial f^2}{\partial y^2}(x_0,y_0)(y - y_0)^2)[/mm]...
[mm] (x_0,y_0) [/mm] wäre dabei der Entwicklungspunkt. Und da bei stetiger, partieller diffbarkeit die Reihenfolge des Ableitens ja auch egal ist, kann man gleichwertige auch zusammenfassen.
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> Ah! Okay. Also anstatt meinen x bzw. y nehme ich dann die
> Differenz aus dem Funktionswert und dem Wert des
> Entwicklungspunktes.
>
> Gehe ich dann recht davon aus, dass die allgemeine Formel
> dann so aussieht?
>
> [mm]T_{n, (x_0,y_0)}(x,y) = f(x_0,y_0) + \bruch{1}{1!}( \bruch{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x - x_0) + \bruch{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y - y_0) )[/mm]
>
> [mm]+ \bruch{1}{2!}( \bruch{\partial f^2}{\partial x^2}(x_0,y_0)(x - x_0)^2 + \bruch{\partial f^2}{\partial y \partial x}(x_0,y_0)(x - x_0) + \bruch{\partial f^2}{\partial x \partial y}(x_0,y_0)(y - y_0) + \bruch{\partial f^2}{\partial y^2}(x_0,y_0)(y - y_0)^2)[/mm]...
nicht ganz richtig. es sollte heissen:
[mm]T_{n, (x_0,y_0)}(x,y) = f(x_0,y_0) + \bruch{1}{1!}( \bruch{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\ (x - x_0) + \bruch{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\ (y - y_0) )[/mm]
[mm]+ \bruch{1}{2!}( \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0,y_0)\ (x - x_0)^2 + 2*\bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x_0,y_0)\ (x - x_0)*(y - y_0) + \bruch{\partial^2f}{\partial y^2}(x_0,y_0)\ (y - y_0)^2)[/mm]...
Beachte auch die Schreibweise bei den [mm] \partial [/mm] !
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 Do 09.10.2008 | | Autor: | daN-R-G |
Oh... natürlich! Problem erkannt, Gefahr gebannt :)
Danke für deine Unterstützung!
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