Taylorpol.bestimmen 2 Möglichk < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Do 09.12.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
gegeben f(x,y)= x*exp(cos y).
Man soll das 2-te Taylorpolynom von f in (0,0) bestimmen.
Nach Lagrange-Taylor habe ich e*x raus.
Mit der Komposition von den Potenzreihen von exp und cos habe ich 2,5*x raus.
Warum sind die Ergebnisse "knapp" unterschiedlich?
Müßen sie nicht gleich sein?
Gruss
Igor
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Hallo Igor1,
> Hallo,
>
> gegeben f(x,y)= x*exp(cos y).
>
> Man soll das 2-te Taylorpolynom von f in (0,0) bestimmen.
> Nach Lagrange-Taylor habe ich e*x raus.
Ok, stimmt.
> Mit der Komposition von den Potenzreihen von exp und cos
> habe ich 2,5*x raus.
> Warum sind die Ergebnisse "knapp" unterschiedlich?
> Müßen sie nicht gleich sein?
>
Die Ergebnisse müssen gleich sein.
Poste hierzu Deinen Rechenweg.
>
> Gruss
> Igor
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Do 09.12.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
exp(x) = [mm] 1+x+x^{2} [/mm] bis 2-te Ordnung
cos(y) = [mm] 1-\bruch{y^{2}}{2} [/mm] bis 2-te Ordnung
exp(cos y)*x = [mm] (1+1-\bruch{y^{2}}{2}+\bruch{(1-\bruch{y^{2}}{2})^{2}}{2})*x [/mm] = (mit x ausmultipliziert und alle Terme , die der Ordnung größer 2 sind, eliminiert. Am Ende steht bei mir dann: ) [mm] 2x+\bruch{x}{2}=2,5*x [/mm] bis 2-te Ordnung
Gruss
Igor
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Hallo Igor1,
> Hallo,
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> exp(x) = [mm]1+x+x^{2}[/mm] bis 2-te Ordnung
> cos(y) = [mm]1-\bruch{y^{2}}{2}[/mm] bis 2-te Ordnung
>
> exp(cos y)*x =
> [mm](1+1-\bruch{y^{2}}{2}+\bruch{(1-\bruch{y^{2}}{2})^{2}}{2})*x[/mm]
> = (mit x ausmultipliziert und alle Terme , die der Ordnung
> größer 2 sind, eliminiert. Am Ende steht bei mir dann: )
> [mm]2x+\bruch{x}{2}=2,5*x[/mm] bis 2-te Ordnung
>
Hier musst Du die ganze Exponentialreihe betrachten,
da die Taylorreihe des Cosinus mit einem konstanten Glied beginnt.
Dann ist
[mm]x*exp(cos(y)) \approx x*\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{1}{k!}}*\left(1-\bruch{y^{2}}{2}\right)^{k}[/mm]
>
> Gruss
> Igor
>
Gruss
MathePower
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