www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Numerik" - Taylorentwicklung u. Restglied
Taylorentwicklung u. Restglied < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Numerik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Taylorentwicklung u. Restglied: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:38 Sa 26.03.2005
Autor: gr4nd

Hallo,
da ich leider die Vorlesungen zum Thema Taylorpolynome verpasst habe und mir das niemand aus meinem Studiengang so richtig erklären konnte, würde es mich freuen, wenn mir jemand die folgende Aufgabe exemplarisch lösen würde, damit ich daran erkenne worum es dabei geht und wie es funktioniert.

Bestimme die Taylor-Entwicklung an der Stelle [mm]\gamma[/mm]=0 bis zur 2. Ordnung einschließlich (Restglied 3.Ordnung) und gib eine Abschätzung des Restgliedes
a) an der Stelle [mm]x= - \bruch{1}{2} [/mm]
b) im Intervall [mm]\left[-\bruch{1}{2};\bruch{1}{2} \right][/mm]

für die Funktion
[mm] f(x)=\wurzel{1+x} [/mm]
an.

Was ich mir bisher zusammengereimt habe, ist, dass es bei dieser ganzen Sache wohl darum geht, jede beliebige Funktion als Annäherung an eine Polynomfunktion darzustellen. Und das Restglied gibt dann wohl den Fehler an, mit dem man zu rechnen hat, wenn man bei einer bestimmten Ordnung abbricht. Aber wozu ist der Entwicklungspunkt gut? Kann ich das [mm]\gamma[/mm] beliebig wählen? Warum ist es in diesem Beispiel grade 0?

Meine bisherigen Überlegungen haben mich an die folgende Stelle gebracht:

a) [mm]\wurzel{1+x}=T_2(f,0)(-\bruch{1}{2})+R_3(f,0)(-\bruch{1}{2}) [/mm]

Ist dieser Ansatz zur Lösung der Aufgabe soweit richtig?  Wie funktioniert das Ganze für ein Intervall?

Ich habe diese Fragen in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Taylorentwicklung u. Restglied: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:03 Sa 26.03.2005
Autor: mathemaduenn

Hallo gr4nd,
Eine Taylorentwicklung ist eine Näherung der Funktion in einer Umgebung um die Entwicklungsstelle. Enfernt man sich von der Entwicklungsstelle wird der Fehler der Approximation i.d.R. größer. Befindet man sich in der Nähe der Entwicklungsstelle ist der Fehler zumeist klein.

> Was ich mir bisher zusammengereimt habe, ist, dass es bei
> dieser ganzen Sache wohl darum geht, jede beliebige
> Funktion als Annäherung an eine Polynomfunktion
> darzustellen. Und das Restglied gibt dann wohl den Fehler
> an, mit dem man zu rechnen hat, wenn man bei einer
> bestimmten Ordnung abbricht.
> Aber wozu ist der
> Entwicklungspunkt gut? Kann ich das [mm]\gamma[/mm] beliebig wählen?
> Warum ist es in diesem Beispiel grade 0?

sihe oben 0 ist wohl aus (kopf-)rechentechnischen Gründen gewählt worden.

> Meine bisherigen Überlegungen haben mich an die folgende
> Stelle gebracht:
>  
> a)
> [mm]\wurzel{1+x}=T_2(f,0)(-\bruch{1}{2})+R_3(f,0)(-\bruch{1}{2})[/mm]

Das ist sicher richtig. Aber wie sieht das [mm] T_2 [/mm] und [mm] R_3 [/mm] aus?  

> Ist dieser Ansatz zur Lösung der Aufgabe soweit richtig?  
> Wie funktioniert das Ganze für ein Intervall?

Hier ist die Frage: Wie groß kann [mm] R_3 [/mm] maximal werden? Das steckt hinter dem Wort "Abschätzung".
Alles klar?
gruß
mathemaduenn

Bezug
                
Bezug
Taylorentwicklung u. Restglied: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:07 Mo 28.03.2005
Autor: gr4nd

Also: [mm]T_2(f,0)(-\bruch{1}{2})=\sum_{k=0}^{2} \bruch {f^k(0)}{k!}*(-\bruch{1}{2}-0)^k=1-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{32}=\bruch{25}{32} [/mm]

[mm]R_3(f,0)(-\bruch{1}{2})=\bruch{f^{3+1}(\xi)}{(3+1)!}*(-\bruch{1}{2}-0)^{3+1}=\bruch{-\bruch{15}{16}(1+\xi)^{-\bruch{7}{2}}}{24}*\bruch{1}{16}=-\bruch{15}{24}*(1+\xi)^{-\bruch{7}{2}}[/mm]

Gut. Soweit ist das klar, aber wie schätze ich nun das Restglied nach oben ab? Und was mache ich mit dem [mm]\xi[/mm]?

Bezug
                        
Bezug
Taylorentwicklung u. Restglied: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:20 Mo 28.03.2005
Autor: mjp


> Also: [mm]T_2(f,0)(-\bruch{1}{2})=\sum_{k=0}^{2} \bruch {f^k(0)}{k!}*(-\bruch{1}{2}-0)^k=1-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{32}=\bruch{25}{32}[/mm]
>  
> [mm]R_3(f,0)(-\bruch{1}{2})=\bruch{f^{3+1}(\xi)}{(3+1)!}*(-\bruch{1}{2}-0)^{3+1}=\bruch{-\bruch{15}{16}(1+\xi)^{-\bruch{7}{2}}}{24}*\bruch{1}{16}=-\bruch{15}{24}*(1+\xi)^{-\bruch{7}{2}}[/mm]

Normalerweise hat das Restglied denselben Index, wie das Polynom.
Man kann es auch so schreiben, wie Du es geschrieben hast, dann
muss man aber aufpassen.
Du bist ein wenig verrutscht, es muss heissen:

[mm]R_3(f,x_0)(x)=\bruch{f^{(3)}(\xi(x))}{3!}*(x - x_0)^{3}[/mm]
oder aber:
[mm]R_n(f,x_0)(x)=\bruch{f^{(n+1)}(\xi(x))}{(n+1)!}*(x - x_0)^{n+1}[/mm]

Der Grad des Restglieds muss unmittelbar an den Grad des
Polynoms anschliessen, sonst berechnest Du den Abbruchfehler
eines falschen Polynoms.
  

> Gut. Soweit ist das klar, aber wie schätze ich nun das
> Restglied nach oben ab?

Ich habe jetzt Deine Rechnung nicht geprueft, aber wenn das
Ergebnis richtig ist, hast Du also oben den Wert von [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]
approximiert.

Um das Restglied bzw. den Abbruchfehler abzuschaetzen, ist das
nicht unbedingt notwendig.

Dazu nimmst Du Dir das Restglied, setzt, wie Du es gemacht hast,
den Wert ein und suchst Dir dann das [mm]\xi(x)[/mm], mit dem der
Betrag des Restglieds maximal wird.

Dazu ist hilfreich, zu wissen, dass:
[mm]x < \xi(x) < x_0[/mm] bzw. [mm]x_0 < \xi(x) < x[/mm] gilt. (Taylorscher Satz)

Weiterhin gilt: Ist [mm]f \in C[a,b][/mm] dann existieren [mm]z_1,z_2\in[a,b][/mm] mit
[mm]f(z_1)\le f(x) \le f(z_2)[/mm] fuer alle [mm]x \in [a,b][/mm].
Ist [mm]f[/mm] zusaetzlich in [mm]\left(a,b\right)[/mm] differenzierbar, dann kommen
[mm]z_1,z_2[/mm] entweder als Endpunkte von [mm]\left[a,b\right][/mm] vor, oder aber dort, wo
[mm]f'(x) = 0[/mm] ist.

Mit diesem Wissen kannst Du [mm]\xi(x)[/mm] im Restglied abschaetzen, was
Dich widerum zu einer Abschaetzung des Restglieds fuehren sollte.

Gruss,
Monika.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Numerik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]