Taylorentwicklung, Naeherungsw < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich muss die ertsen 3 Glieder der Taylorentwicklung mit dem Entwicklungspunkt [mm] x_0=1 [/mm] für die Funktion
f(x)= [mm] x^{10}-3x^{6}+x^{2}+2 [/mm] angeben und danach einen Näherungswert für f(1,03) berechnen.
Aber ich weiss nicht wie ich den Näherungswert berechnen kann....kann Jemand mir helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Du entwickelst Funktionen in Taylorpolynome, um bestimmte Funktionswerte mit einem geringeren Rechenaufwand, aber dennoch hinreichend gut annähern zu können. Dabei entwickelt man um den Punkt, der im Bereich der Funktionswerte liegt, die man annähern möchte. So ist es hier auch. Es liegt eine Funktion $f$ vor, von der wir den Wert an der Stelle $1,03$ annähern möchten; dazu entwickeln wir $f$ an der Stelle $1$ in ein Taylorpolynom dritten Grades. Du erhältst es nach der Standardformel
[mm] $f_{n,x_0}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)(x_0)}}{k!}\cdot (x-x_0)^k$,
[/mm]
nach der sich das Taylorpolynom vom Grad $n$ der Funktion $f$ an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] berechnen lässt.
Dieser ist der erste Schritt, den du also bei der Bearbeitung der Aufgabe zu tuen hast. Hast du $f$ in das gewünschte Taylorpolynom dritten Grades entwickelt, so besteht die Annäherung von $f(1,03)$ nun im Einsetzen von $1,03$ in das Taylorpolynom - denn, wie oben beschrieben, bewirkt eine Entwicklung am Punkt $1$, dass das Taylorpolynom die Funktion um $1$ sehr gut approximiert.
Ich hoffe, dass ich dir damit helfen konnte. Wenn nicht, dann frage bitte nach.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
Danke für die Antwort
**Als Taylorentwicklung habe ich gefunden:
[mm] y=f(x)=1-6(x-1)+(x-1)^2+60(x-1)^3
[/mm]
Ist das richtig?
**Dann habe ich 1,03 so eingesetzt dass ich f(1.03)=0,82252 bekomme
**Wenn das richtig ist, wie schätze ich den Fehler ab?
|
|
|
| |
|
Hallo Manuela,
deine Berechnung ist richtig. Um den Fehler abzuschätzen, schreibst du einfach das nächste Glied der Taylorreihe auf: [mm] 165(x-1)^{4}. [/mm] Nun ersetzt du aber das x durch ein y. Es gilt: Der genaue Funktionswert ist die gesamte Reihe (also deine Taylorreihe und das neue Glied), wobei y zwischen dem Entwicklungspunkt 1 und dem eingesetzten Argument 1,03 (jeweils einschließlich) liegt. Das bedeutet, das der Fehler kleiner oder gleich dem Maximalwert von [mm] 165(y-1)^{3} [/mm] liegt, also kleiner oder gleich [mm] 165*0,03^{4}=0,00013365 [/mm] ist.
|
|
|
| |
|
Danke für deine Antwort,
aber sag´ mal, sollte das nicht [mm] (y-1)^4 [/mm] statt [mm] (y-1)^3 [/mm] sein?
|
|
|
| |
|
Ja, du hast völlig Recht, das sieht man auch am Zahlenwert, es muss natürlich [mm] (y-1)^{4} [/mm] heißen. Ich habe aber in Folge einer Verwechselung 2 Fehler gemacht:
Der Fehlerterm ist nicht [mm] \bruch{f''''(1)}{4!}(y-1)^{4}, [/mm] sondern [mm] umgekehrt:\bruch{f''''(y)}{4!}(x-1)^{4}, [/mm] wobei y zwischen 1 und x liegt, also hier:
[mm] \bruch{f''''(y)}{4!}(0,03)^{4}=\bruch{f''''(y)}*0,00000003375.
[/mm]
Für f''''(y) müsstest du nun den maximalen Wert nehmen, der vermutlich bei y=1,03 erreicht wird. Das solltest du aber vereinfachen: Zwar ist das Polynom der 4. Ableitung für x=1,03 leicht mit dem Taschenrechner zu errechnen; aber wenn das möglich ist, kannst du dir ja die ganze Taylor-Entwickung schenken und sofort den Term der Ausgangsfunktion für x=1,03 ausrechnen. Deshalb benutzt du die Vermutung: Die 4 Ableitung ist bei x=1,03 sicher nicht so viel anders als bei x=1, so dass du angenähert f''''(1) berechnest, den in der letzten Antwort angegebenen Wert.
Tatsächlich ist der Fehler etwas größer (0,000139489 statt der abgeschätzten 0,00013365), was eben an der vereinfachten Berechnung liegt.
|
|
|
|
