Taylorentwicklung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 Sa 03.07.2010 | | Autor: | kalor |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Salut!
Ich bin ein wenig verwirrt über die Angaben bei einer Taylorentwicklung:
ich möchte [mm] log{(\bruch{1}{q}(\bruch{l}{n}-q)+1)} [/mm] mittels Taylorformel entwickeln (log ist natürlicher logarithmus!). Dafür gibt es ja:
[mm] ln(x+1) = \summe_{i=1}^{\unendlich} (-1)^{n+1} \bruch{x^n}{n} [/mm] für [mm] -1 < x \le 1[/mm]. Wobei bei mir [mm] x = \bruch{1}{q}(\bruch{l}{n}-q)+1)} [/mm] ist. Das würde ja bedeuten es gilt für folgende Bedingung:
[mm] -nq < l-nq \le nq [/mm]. Was mich verwirrt ist, dass in der Lsg steht, für
[mm] |l-nq| \le C\wurzel{n} [/mm] (C >0, beliebig). Was habe ich falsch gemacht, oder wie komme ich auf den Wurzelausdruck?
Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Sa 03.07.2010 | | Autor: | hula |
HI!
Ich beschäftige mich wahrscheinlich mit dem gleichen Thema wie kalor. Zumindest habe ich eine sehr ähnliche Frage. Ich möchte mich auf eine Vorlesung vorbereiten, die nächstes Semester beginnt und habe dafür ein paar nützlich Skripts im Internet angeschaut und versucht durchzuarbeiten. Leider habe ich zwei Beweise nicht ganz verstanden, vielleicht könnt ihr mir da helfen!
Das Skript befindet sich auf:
ftp://ftp.stat.math.ethz.ch/U/Kuensch/skript-einf.ps
Ich habe zwei Fragen:
1. Auf Seite 20 des Skripts den Beweis zu Lemma 1.3, folgender Schritt:
[mm] P[\bigcap_{i \in J} A_i \cap \bigcap_{i \in K} A_i^c \cap A_j^c] = P[\bigcap_{i \in J} A_i \cap \bigcap_{i \in K} A_i^c] - P[\bigcap_{i \in J} A_i \cap A_j \cap \bigcap_{i \in K} A_i^c] [/mm]
und meine zweite Frage ist sehr ähnlich wie die von kalor:
2. Den Beweis auf Seite 22 von Satz 1.10:
Mir ist die Idee absolut klar, ich entwickle wie kalor [mm] ln(\bruch{k}{n}) - ln(p) [/mm], dafür bekomme ich das gleiche raus, allerdings verstehe ich nicht wie man die Taylorentwicklung von [mm] k(ln(\bruch{k}{n}) - ln(p)) [/mm] kommt! Zudem würde ich auch gerne wie karlo wissen, wie man auf das [mm] |k-np| \le A \wurzel{n}[/mm] kommt. Ich denke, dass ist die gleiche Frage, darum habe ich hier meine zwei Anschlussfragen gestellt. Ich hoffe, dass ist ok so?
Wäre wirklich super, wenn mir jemand helfen könnte. Jedenfalls, danke für eure Bemühungen!
greetz hula
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Hallo hula,
ich hänge meine Antwort an deine (nicht kalors) Frage an,
weil du dieselben Bezeichnungen benützt wie in dem Skript
ftp://ftp.stat.math.ethz.ch/U/Kuensch/skript-einf.ps
Bei der Zeile $ [mm] ln\left(\bruch{k}{n}\right) [/mm] - ln(p)\ =\ ............ $
handelt es sich offenbar um die Taylorentwicklung zweiter Ordnung
der Funktion $\ f(x)\ =\ ln(x)$ an der Stelle $\ [mm] x_0\ [/mm] =\ p$ und für die
(benachbarte) Stelle $\ [mm] x_1\ [/mm] =\ [mm] \bruch{k}{n}$ [/mm] , es gilt also
$\ [mm] x_1-x_0\ [/mm] =\ [mm] \bruch{k}{n}-p [/mm] $ .
Die Voraussetzung $ |k-np| [mm] \le [/mm] A [mm] \wurzel{n} [/mm] $
soll wohl garantieren, dass das Restglied in vernünftigen Schranken
bleibt. Man sollte also noch genauer anschauen, wie der Restglied-
Term zustande kommt.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Mo 05.07.2010 | | Autor: | hula |
Hallo Al-Chw.
Das mit der Wurzel hab ich hingekriegt! Danke für deinen Input!
> der Funktion [mm]\ f(x)\ =\ ln(x)[/mm] an der Stelle [mm]\ x_0\ =\ p[/mm]
> und für die
> (benachbarte) Stelle [mm]\ x_1\ =\ \bruch{k}{n}[/mm] , es gilt
> also
> [mm]\ x_1-x_0\ =\ \bruch{k}{n}-p[/mm] .
Das glaube ich aber nicht. Will man nicht eine Funktion der Form [mm] ln(1+x) [/mm] mit Taylor entwicklen (bis zum 2. Grad).
Also durch die Formel:
[mm] \summe_{n \ge 1} (-1)^{n+1} \bruch{x^n}{n} [/mm]. Bei mir ist dann x halt:
[mm] x = \bruch{1}{p}(\bruch{k}{n}-p) [/mm]
Damit komme ich auch auf ihre erste Entwicklung. Allerdings ist mir weiterhin schleierhaft, wie man auf die Taylorentwicklung eine Zeile darunter kommt. Also:
[mm] k(\bruch{1}{p}(\bruch{k}{n}-p)) [/mm]. Das sollte doch das gleiche wie oben sein, nur halt mit k multipliziert? Die Summe läuft ja über n nicht über k. Vielleicht kannst du mir diese Frage auch noch beantworten:)
Thanks!
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> Hallo Al-Chw.
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> Das mit der Wurzel hab ich hingekriegt! Danke für deinen
> Input!
>
> > der Funktion [mm]\ f(x)\ =\ ln(x)[/mm] an der Stelle [mm]\ x_0\ =\ p[/mm]
> > und für die
> > (benachbarte) Stelle [mm]\ x_1\ =\ \bruch{k}{n}[/mm] , es gilt
> > also
> > [mm]\ x_1-x_0\ =\ \bruch{k}{n}-p[/mm] .
>
> Das glaube ich aber nicht. Will man nicht eine Funktion der
> Form [mm]ln(1+x)[/mm] mit Taylor entwicklen (bis zum 2. Grad).
>
> Also durch die Formel:
>
> [mm]\summe_{n \ge 1} (-1)^{n+1} \bruch{x^n}{n} [/mm]. Bei mir ist
> dann x halt:
>
> [mm]x = \bruch{1}{p}(\bruch{k}{n}-p)[/mm]
> Damit komme ich auch auf ihre deine erste Entwicklung.
Das kommt auf dasselbe heraus, wie man durch Umformen
zeigen kann:
$\ [mm] ln\left(\frac{k}{n}\right)-ln(p)\ [/mm] =\ ........\ =\ [mm] ln\left(1+\underbrace{\frac{1}{p}*\left(\frac{k}{n}-p\right)}_x \right)$
[/mm]
> Allerdings ist mir weiterhin
> schleierhaft, wie man auf die Taylorentwicklung eine Zeile
> darunter kommt. Also:
>
> [mm]k(\bruch{1}{p}(\bruch{k}{n}-p)) [/mm]. Das sollte doch das
> gleiche wie oben sein, nur halt mit k multipliziert? Die
> Summe läuft ja über n nicht über k. Vielleicht kannst du
> mir diese Frage auch noch beantworten:)
>
> Thanks!
Ich habe mir auch diese etwas verzwickte Rechnung nochmals
angeschaut und habe Folgendes erhalten:
Ich setze $\ x:=\ [mm] \frac{k}{n}-p\ [/mm] =\ [mm] \frac{k-n*p}{n}$
[/mm]
Es gilt also auch [mm] $\frac{k}{n}\ [/mm] =\ p+x$ sowie $\ k\ =\ n*p+n*x$
Für den zu entwickelnden Term erhalten wir damit:
$\ [mm] k*\left(\,ln\left(\frac{k}{n}\right)-ln(p)\right)\ [/mm] =\ [mm] k*\left(\,ln\left(\frac{k}{n*p}\right)\right)\ [/mm] =\ [mm] \underbrace{(n*p+n*x)}_k\,*\ ln\left(\frac{n*p+n*x}{n*p}\right)$
[/mm]
$\ =\ [mm] n*(p+x)*ln\left(1+\frac{x}{p}\right)\ [/mm] =\ [mm] n*(p+x)*\left[\frac{x}{p}-\frac{1}{2}*\left(\frac{x}{p}\right)^2+\ .....\,\right]$ [/mm]
Wenn man jetzt noch ausmultipliziert, nach Potenzen von x
ordnet und x wieder durch [mm] \left(\frac{k}{n}-p\right) [/mm] ersetzt,
kommt man zum Ergebnis aus dem Skript.
Um das Restglied und dessen Ordnung (nach n) habe ich mich
jetzt nicht gekümmert.
LG Al-Chwarizmi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Di 06.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
post deine erste Frage in nem neuen thread, da sie hier ja nicht reinpasst.
Gruss leduart
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> Ich bin ein wenig verwirrt über die Angaben bei einer
> Taylorentwicklung:
>
> ich möchte [mm]log{(\bruch{1}{q}(\bruch{l}{n}-q)+1)}[/mm] mittels
> Taylorformel entwickeln (log ist natürlicher
> logarithmus!). Dafür gibt es ja:
>
> [mm]ln(x+1) = \summe_{i=1}^{\unendlich} (-1)^{n+1} \bruch{x^n}{n}[/mm]
> für [mm]-1 < x \le 1[/mm]. Wobei bei mir [mm]x = \bruch{1}{q}(\bruch{l}{n}-q)+1)}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
das sollte doch wohl lauten: [mm]x = \bruch{1}{q}(\bruch{l}{n}-q))}[/mm] bzw. [mm]x = \bruch{l}{n*q}-1[/mm]
> ist. Das würde ja bedeuten es gilt für folgende
> Bedingung:
>
> [mm]-nq < l-nq \le nq [/mm]. Was mich verwirrt ist, dass in der Lsg
> steht, für
>
> [mm]|l-nq| \le C\wurzel{n}[/mm] (C >0, beliebig). Was habe ich
> falsch gemacht, oder wie komme ich auf den Wurzelausdruck?
> Danke!
Hallo kalor,
wenn der Term wirklich so lautet, wie du geschrieben hast:
[mm]log{\left(\bruch{1}{q}(\bruch{l}{n}-q)+1\right)}[/mm]
so kann man den doch sofort vereinfachen zu:
[mm]log{\left(\bruch{l}{n*q}\right)}[/mm]
Vielleicht gibst du uns ein paar weitere Angaben über die
vorkommenden Variablen und ihre Bedeutung und über
das Ziel der Aufgabe ?
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 So 04.07.2010 | | Autor: | kalor |
@hula du arbeitest das durch....als Vorbereitung!? Respekt:)
@Al-Chwarizmi:
Hm...ja das ist natürlich Blödsinn, das +1 hat nix zu suchen! das habe ich noch drin gehabt, da ich ja [mm] ln(x+1) [/mm] entwickeln will.
also mein x ist folgendes:
[mm] \bruch{1}{q}(\bruch{l}{n}-q) [/mm].
Betreffend Bedeutung: Naja, Hula hat wohl ein ähnliches Skript wie wir. Das Beispiel kommt auch aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es geht um die Approximation der Binomialverteilung. Ich habe mal den Link von Hula angeschaut, meine Frage ist fast identisch mit seiner zweiten. Bei uns sind einfach die Parameter anders gewählt worden. Ich hoffe, dass hilft irgendwie weiter:)
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