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Taylorentwicklung: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:03 So 24.04.2005
Autor: Monemi

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo erstmal,

Ich befinde mich zur Zeit im Erziehungsurlaub, schreibe die Mathe - Klausuren dennoch mit. Klappt bis jetzt ganz gut. Aber bei der Taylorentwicklung steh ich total auf dem Schlauch.

Es handelt sich dabei nur um eine allgemeine Frage, also keine Rechnung oder ähnliches. Kann mir vielleicht jemand ( bitte, bitte ) mit ganz einfachen Worten ganz kurz die Berechnung der linearen und quadratischen Näherung mittels Taylorapproximation in einem gegebenen Punkt erklären?

Bisher hab ich nur rausgefunden:
lineare Näherung: Entwicklung 1. Grades
quadratische Näherung: Entwicklung 2. Grades

Bin ein ziemlicher "Matheversager" und versteh bei den Erklärungen der Bücher nullnichts. Habe mich redlich um eigene "Lösungen" bemüht, aber wie Ihr seht...

Mit Eurer Hilfe kann ich mich dann vielleicht an die wirkliche Aufgabe setzen.

Danke! Danke! Danke!
        
Bezug
Taylorentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:22 So 24.04.2005
Autor: Micha


> Hallo erstmal,

Hallo und
[willkommenmr]
>  
> Ich befinde mich zur Zeit im Erziehungsurlaub, schreibe die
> Mathe - Klausuren dennoch mit. Klappt bis jetzt ganz gut.
> Aber bei der Taylorentwicklung steh ich total auf dem
> Schlauch.
>  
> Es handelt sich dabei nur um eine allgemeine Frage, also
> keine Rechnung oder ähnliches. Kann mir vielleicht jemand (
> bitte, bitte ) mit ganz einfachen Worten ganz kurz die
> Berechnung der linearen und quadratischen Näherung mittels
> Taylorapproximation in einem gegebenen Punkt erklären?
>  
> Bisher hab ich nur rausgefunden:
>  lineare Näherung: Entwicklung 1. Grades
>  quadratische Näherung: Entwicklung 2. Grades
>

Also grundsätzlich kann man die Taylorentwicklung betreiben bis einem schwindlig wird. Je weiter ich entwickle, desto besser ist meine Näherung. Was meine ich damit?

Es gilt doch [mm] f(x) \approx \summe_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k [/mm] [mm] = f(x_0) + f^{(1)}(x_0) \cdot (x-x_0) + \frac{ f^{(2)}(x_0) }{2} (x-x_0)^2 + \frac{f^{(3)}(x_0)}{6} (x-x_0)^3 + ... + \frac{f^{(n)}(x_0) }{n!} (x-x_0)^n [/mm]

Die Taylorreihe ist dann ein Polynom vom Grad n. Lineare Näherung (also Entwicklung 1. Grades) heißt einfach, das n=1 ist, also meine Summe nur aus 2 Summanden besteht:
[mm] f(x) \approx f(x_0) + f^{(1)}(x_0) \cdot (x-x_0) [/mm]

und analog dann quadratische Näherung heißt n=2:
[mm] f(x) \approx f(x_0) + f^{(1)} \cdot (x_0) (x-x_0) + \frac{f^{(2)}(x_0)}{2} (x-x_0)^2 [/mm]

Genügt dir das zum Verständnis? Wenn nicht, frage bitte nach!

Gruß Micha ;-)
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Taylorentwicklung: Zwischendank
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:32 So 24.04.2005
Autor: Monemi

Vielen lieben Dank ( auch für die Willkommensgrüße )

Werd das jetzt mal am konkreten Beipiel probieren und dann der Korrektur
( die bestimmt nötig ist ) preisgeben.

Liebe Grüße
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Taylorentwicklung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:36 So 24.04.2005
Autor: Micha

Hallo nochmal!
> Vielen lieben Dank ( auch für die Willkommensgrüße )
>  
> Werd das jetzt mal am konkreten Beipiel probieren und dann
> der Korrektur
>   ( die bestimmt nötig ist ) preisgeben.
>  
> Liebe Grüße

Wir freuen uns schon jetzt! ;-)

Gute Nacht, [gutenacht]

Micha ;-)
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Taylorentwicklung: Konkretes Beispiel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:18 So 24.04.2005
Autor: Monemi

Nun mal konkreter. Meine Funktion lautet 1+e^(-x) und ich soll die quadratische und lineare Näherung im Punkt x 0=1 angeben. ( irgendwie krieg ich die Null nicht klein )

Also hab ich erst mal abgeleitet:
f´=-e^(-x)
f´´ = e^(-x)

Dann müßte ich f(1), f´(1) und f´´(1) ausrechnen. Da mein Taschenrechner streikt, klappt das heute nicht mehr. Aber mal allgemein?:

lineare Näherung = f(1) + f´(1) *1 *(x- x0)

Dumm gefragt: Bedeutet x - xo das dann * (x-1) hintendrankommt?

quadratische Näherung: f(1) + f´(1)*1*(x-1)+ [mm] [(f´´(1)*1)/2)*(x-1)^2] [/mm]

Ich danke für Deine Geduld und hoffe du siehst bei meinen Klammern noch durch. Ich nämlich nicht mehr "grins"

Stimmt das Prinzip?


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Bezug
Taylorentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:34 So 24.04.2005
Autor: Micha


> Nun mal konkreter. Meine Funktion lautet 1+e^(-x) und ich
> soll die quadratische und lineare Näherung im Punkt x 0=1
> angeben. ( irgendwie krieg ich die Null nicht klein )

Das machst du mit dem Unterstrich _
>  
> Also hab ich erst mal abgeleitet:
>  f´=-e^(-x)
>  f´´ = e^(-x)

[ok] die stimmen!
>  
> Dann müßte ich f(1), f´(1) und f´´(1) ausrechnen. Da mein
> Taschenrechner streikt, klappt das heute nicht mehr. Aber
> mal allgemein?:
>  
> lineare Näherung = f(1) + f´(1) *1 *(x- x0)
>  
> Dumm gefragt: Bedeutet x - xo das dann * (x-1)
> hintendrankommt?

Genau das bedeutet das! ;-) (Es gibt keine dummen Fragen! *g)
>  
> quadratische Näherung: f(1) + f´(1)*1*(x-1)+
> [mm][(f´´(1)*1)/2)*(x-1)^2][/mm]
>  
> Ich danke für Deine Geduld und hoffe du siehst bei meinen
> Klammern noch durch. Ich nämlich nicht mehr "grins"
>  
> Stimmt das Prinzip?

Genau richtig! Du kannst das auch ohne Taschenrechner ausrechnen:

$f(1) = 1+ [mm] e^{-1} [/mm] = 1 + [mm] \frac{1}{e} [/mm] $

$f'(1) = [mm] -e^{-1} [/mm] = - [mm] \frac{1}{e}$ [/mm]

$f''(1) = [mm] e^{-1} [/mm] =  [mm] \frac{1}{e}$ [/mm]

Dann ist die quadratische Näherung:

[mm] f(x) \approx 1 + \frac{1}{e} -\frac{1}{e}*(x-1)+ \frac{1}{2e}*(x-1)^2[/mm]

Ich denke du hast es verstanden, oder? ;-)

Gruß Micha
Bezug
                                
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Taylorentwicklung: Weitere Frage zur Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:30 Mo 25.04.2005
Autor: Monemi


> Ich denke du hast es verstanden, oder? ;-)


Ich denke schon. Ganz doll Danke! Nun hab ich aber noch eine glitzekleine Frage dazu. Ich soll die Grenzwerte der Näherung dazu berechnen.

Bisher hab ich immer Grenzwerte "geschätzt", was sicherlich nicht mathematisch korrekt ist aber zum Ziel führt.

Kannst Du mir nen Anstoß geben, wie ich das hier am Besten mach?

Danke
Bezug
                                        
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Taylorentwicklung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:32 Mo 25.04.2005
Autor: Micha

Guten Morgen!  
>
> Ich denke schon. Ganz doll Danke! Nun hab ich aber noch
> eine glitzekleine Frage dazu. Ich soll die Grenzwerte der
> Näherung dazu berechnen.

Was meinst du damit genau? Kannst du das kurz darstellen?
>  
> Bisher hab ich immer Grenzwerte "geschätzt", was sicherlich
> nicht mathematisch korrekt ist aber zum Ziel führt.
>  
> Kannst Du mir nen Anstoß geben, wie ich das hier am Besten
> mach?
>  
> Danke  

Gruß Micha
Bezug
                                                
Bezug
Taylorentwicklung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:41 Mo 25.04.2005
Autor: Monemi

Guten Morgen ( gut geschlafen?)

Also die Aufgabe lautet genau: Berechnen und vergleichen sie jeweils [mm] f(x_0) [/mm] und [mm] l(x_0), [/mm] die Grenzwerte der beiden gegen + und - Unendlich.

l [mm] (x_0) [/mm] ist die lineare Näherung

Liebe Grüße
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Bezug
Taylorentwicklung: ???
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:55 Mo 25.04.2005
Autor: Micha

Hallo!
> Guten Morgen ( gut geschlafen?)

Ja hab ich, danke!

>  
> Also die Aufgabe lautet genau: Berechnen und vergleichen
> sie jeweils [mm]f(x_0)[/mm] und [mm]l(x_0),[/mm] die Grenzwerte der beiden
> gegen + und - Unendlich.

Ich verstehe leider nicht, was du meinst. Soll [mm] $x_0$ [/mm] der Entwicklungspunkt sein oder nicht?
Der ist nämlich immer gleich: [mm] f(x_0)= l(x_0) [/mm] für jedes [mm] $x_0$ [/mm]

Nehmen wir mal an, du meinst nicht den Entwicklungspunkt, sondern einfach das [mm] $x_0$ [/mm] aus der allgemeinen Grenzwertbetrachtung für einen festen Entwicklungspunkt.
Dann ist der Grenzwert der Funktion einfach zu bestimmen: Setze [mm] $\pm \infty$ [/mm] in die Ausgangsgleichung ein und du erhälst $0$, bzw. $+ [mm] \infty$. [/mm]
Bei der linearen Näherung hast du doch ein Polynom. Bei Polynomen ist in der Grenzwertbetrachtung immer entscheidend, wie der Koeffizient der höchsten Potenz aussieht. Im linearen Näherungs-Fall ist der Koeffizient von [mm] $(x-x_0)$ [/mm] der Wert $f'(1)$. und auf den kommt es an: Ist er $>0$ so ist der Grenzwert gegen plus unendlich für x gegen plus unendliche, und minus unendlich für x gegen minus unendlich.

für $f'(1) < 0 $ entsprechend das entgegengesetzte...

Gruß Micha ;-)
Bezug
                                                                
Bezug
Taylorentwicklung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:00 Mo 25.04.2005
Autor: Monemi

Tja, was [mm] x_0 [/mm] ist ( allgemein oder halt 1 ) steht nicht da. Ich werde es einfach für beide Fälle beantworten.

Danke nochmal! Du hast mir soooooooooo doll geholfen.

LG
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