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Taylorentwicklung: Fehlerabschätzung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:44 Mo 08.09.2008
Autor: Marcel08

Aufgabe
Gegeben sei die Funktion f : [mm] (0,+\infty) \times (0,+\infty) \to \IR, [/mm] mit f(x,y) = [mm] x^{4}ln(xy) [/mm] .

a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom 2. Ordnung [mm] T_{2}(x,y) [/mm] um den Entwicklungspunkt (1,1)

b) Schätzen Sie den Fehler von [mm] T_{2}(x,y) [/mm] an der Stelle (1,0.8) nach oben ab.

Hallo liebe Mathe- Community,

ich würde gerne wissen, wie ich im Aufgabenteil b) das Restglied nach Lagrange genau aufstelle. In der Musterlösung steht folgender Aufbau:

[mm] R_{3}(1,0.8) [/mm] = 1/3! [mm] (-0.2)^{3} f_{yyy}(1,\lambda), \lambda \in [/mm] (0.8,1)

1.) Wieso wird für die Aufstellung des Restglieds die partielle Ableitung 3. Ordnung nach y genommen? Wieso verwendet man für die Fehlerabschätzung nicht beispielsweise [mm] f_{xxx} [/mm] oder [mm] f_{xxy}, [/mm] etc.?

2.) Wieso ist das offene Intervall von [mm] \lambda [/mm] genau umgekehrt verglichen mit dem Intervall des Restgliedes?

Über hilfreiche Antworten von den Mathe- Profis würde ich mich sehr freuen. :-) Gruß,


Marcel

        
Bezug
Taylorentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:42 Mo 08.09.2008
Autor: Merle23


> Gegeben sei die Funktion f : [mm](0,+\infty) \times (0,+\infty) \to \IR,[/mm]
> mit f(x,y) = [mm]x^{4}ln(xy)[/mm] .
>  
> a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom 2. Ordnung [mm]T_{2}(x,y)[/mm] um
> den Entwicklungspunkt (1,1)
>  
> b) Schätzen Sie den Fehler von [mm]T_{2}(x,y)[/mm] an der Stelle
> (1,0.8) nach oben ab.
>  Hallo liebe Mathe- Community,
>  
> ich würde gerne wissen, wie ich im Aufgabenteil b) das
> Restglied nach Lagrange genau aufstelle. In der
> Musterlösung steht folgender Aufbau:
>  
> [mm]R_{3}(1,0.8)[/mm] = 1/3! [mm](-0.2)^{3} f_{yyy}(1,\lambda), \lambda \in[/mm]
> (0.8,1)
>  
> 1.) Wieso wird für die Aufstellung des Restglieds die
> partielle Ableitung 3. Ordnung nach y genommen? Wieso
> verwendet man für die Fehlerabschätzung nicht
> beispielsweise [mm]f_{xxx}[/mm] oder [mm]f_{xxy},[/mm] etc.?

Find ich auch komisch. Meiner Meinung nach müsste man alle möglichen Kombinationen mit einbeziehen, also [mm] f_{xxx}, f_{xxy}, f_{xyy} [/mm] und [mm] f_{yyy}. [/mm]

>  
> 2.) Wieso ist das offene Intervall von [mm]\lambda[/mm] genau
> umgekehrt verglichen mit dem Intervall des Restgliedes?
>  

Diese "freie Variable" beim Restglied befindet sich irgendwo auf der Verbindungsstrecke zwischen dem Entwicklungspunkt und dem Punkt, wo ich den Fehler abschätzen will.
Also in deinem Fall ist [mm]\lambda \in \{t(1,0.8) + (1-t)(1,1):t\in [0,1] \} = \{(1,\xi):\xi\in [0.8,1]\}[/mm].

> Über hilfreiche Antworten von den Mathe- Profis würde ich
> mich sehr freuen. :-) Gruß,
>  
>
> Marcel

Bezug
                
Bezug
Taylorentwicklung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:06 Mo 08.09.2008
Autor: Marcel08

Okay, vielen Dank soweit. Gruß,


Marcel

Bezug
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