Taylorentwicklung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:54 Do 09.08.2007 | | Autor: | karlo |
| Aufgabe | | Mit Hilfe der Taylorentwicklung ordne man das Polynom P(x,y) = [mm] 3(x)^4*y [/mm] - [mm] 4*y^2 [/mm] + 2x nach Potenzen von (x+1) und (y-3). Welche Gleichung ergibt sich für die Tangentialebene an die durch P gegebene Fläche A (-1;3;-29) ? |
Hallo!
Ich würde mich über einen Lösungsansatz zu der oben genannten Aufgabe freuen. Das Taylorpolynom ist mir nicht fremd aber wie gehe ich an dieses Beispiel heran?
Besten Dank an diejenigen die sich um eine Hilfestellung bemühen.
MfG
karlo
|
|
| |
|
> Mit Hilfe der Taylorentwicklung ordne man das Polynom
> P(x,y) = [mm]3(x)^4*y[/mm] - [mm]4*y^2[/mm] + 2x nach Potenzen von (x+1) und
> (y-3). Welche Gleichung ergibt sich für die Tangentialebene
> an die durch P gegebene Fläche A (-1;3;-29) ?
> Hallo!
>
> Ich würde mich über einen Lösungsansatz zu der oben
> genannten Aufgabe freuen. Das Taylorpolynom ist mir nicht
> fremd aber wie gehe ich an dieses Beispiel heran?
Du machst genau das, was in der Aufgabenstellung verlangt wird: Du entwickelst das gegebene Polynom $P(x,y)$ in ein Taylorpolynom mit Entwicklungspunkt [mm] $(x_0,y_0)=(-1,3)$. [/mm] Da $P(x,y)$ ein Polynom ist bricht die Entwicklung nach endlich vielen Schritten ab. Und Du dann hast Du was gesucht ist: die Entwicklung von $P(x,y)$ nach Potenzen von $(x+1)$ und $(y-3)$.
Zur Erinnerung: die Taylorentwicklung beginnt so
[mm]P(x,y)=P(x_0,y_0)+\frac{1}{1!}\cdot \left[P_x(x_0,y_0)\cdot(x-x_0)+P_y(x_0,y_0)\cdot (y-y_0)\right] + \frac{1}{2!}\cdot\left[P_{xx}(x_0,y_0)\cdot (x-x_0)^2+2P_{xy}(x_0,y_0)\cdot (x-x_0)(y-y_0)+P_{yy}(x_0,y_0)\cdot(y-y_0)^2\right]+\cdots[/mm]
Du wirst also die eine oder andere partielle Ableitung von $P(x,y)$ an der Stelle [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] ausrechnen müssen 
Die rechte Seite der Gleichung der Tangentialebene [mm] $T_{(x_0,y_0)}$ [/mm] mit Berührpunkt [mm] $(x_0,y_0,P(x_0,y_0))$ [/mm] ist dann gerade der lineare Teil der Taylorentwicklung um [mm] $(x_0,y_0)$:
[/mm]
[mm]T_{(x_0,y_0)}:\;\; z=P(x_0,y_0)+P_x(x_0,y_0)\cdot(x-x_0)+P_y(x_0,y_0)\cdot (y-y_0)[/mm]
Den Satz "Welche Gleichung ergibt sich für die Tangentialebene an die durch P gegebene Fläche A(-1;3;-29)?" Deiner Aufgabenstellung habe ich aber nicht verstanden. Handelt es sich überhaupt um einen gramatikalisch richtigen Satz? Vermutlich müsste die Frage lauten: "Welche Gleichung ergibt sich für die Tangentialebene an die durch P gegebene Fläche im Punkt $A(-1;3;-29)$?" Dies wäre dann also die oben erwähnte Ebene [mm] $T_{(-1,3)}$.
[/mm]
|
|
|
|
