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Taylorentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:10 Mi 31.05.2006
Autor: sclossa

Aufgabe 1
Berechnung der Taylorreihe von [mm] \bruch{1}{(1-x)^2} [/mm]
Tipp: zunächst [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] betrachten

Aufgabe 2
Taylorentwicklung von [mm] \bruch{sinx}{x} [/mm]  

zu 1)
Ich hab mir das so überlegt: die Talyorreihe von sin x kenne ich ja bereits.
Also forme ich um:

[mm] \bruch{sin x}{x} [/mm] =  [mm] \summe_{n=1}^{00} (-1)^n [/mm] * [mm] \bruch{x^(2n+1)}{(2n+1)!} [/mm] * [mm] \bruch{1}{x} [/mm]
=  [mm] \summe_{n=1}^{00} (-1)^n [/mm] * [mm] \bruch{x^(2n)}{(2n+1)!} [/mm]

Kann das so einfach sein?

zur Aufgabe 2) fällt mir nicht viel ein

Es gilt ja [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] =  [mm] \summe_{n=0}^{00} x^n [/mm]

kann ich dann einfach umformen und [mm] \bruch{1}{1-(2x+x^2)} [/mm] betrachten?

Lg Sclossa

        
Bezug
Taylorentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:36 Mi 31.05.2006
Autor: felixf

Hoi!

> 2) Berechnung der Taylorreihe von [mm]\bruch{1}{(1-x)^2}[/mm]
>  Tipp: zunächst [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] betrachten
> 1) Taylorentwicklung von [mm]\bruch{sinx}{x}[/mm]

> zu 1)
>  Ich hab mir das so überlegt: die Talyorreihe von sin x
> kenne ich ja bereits.
>  Also forme ich um:
>  
> [mm]\bruch{sin x}{x}[/mm] =  [mm]\summe_{n=1}^{00} (-1)^n[/mm] *
> [mm]\bruch{x^(2n+1)}{(2n+1)!}[/mm] * [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
>  =  [mm]\summe_{n=1}^{00} (-1)^n[/mm] * [mm]\bruch{x^(2n)}{(2n+1)!}[/mm]
>  
> Kann das so einfach sein?

Ja.

Das Symbol fuer unendlich ist uebrigens \infty.

> zur Aufgabe 2) fällt mir nicht viel ein
>  
> Es gilt ja [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] =  [mm]\summe_{n=0}^{00} x^n[/mm]
>
> kann ich dann einfach umformen und [mm]\bruch{1}{1-(2x+x^2)}[/mm]
> betrachten?

Das macht die Sache nur unnoetig kompliziert. Leite doch mal [mm] $\frac{1}{1 - x}$ [/mm] ab...

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Taylorentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:19 Mi 31.05.2006
Autor: sclossa

Ist [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] abgeleitet nicht gerade [mm] \bruch{1}{(1-x)^2}? [/mm]

Dann wäre ja die gesuchte Taylorreihe gleich der Ableitung der
Taylorreihe von [mm] \bruch{1}{1-x}, [/mm]

also   [mm] \summe_{n=1}^{ \infty } [/mm] n * x^(n-1)
=  [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] (n+1) * [mm] x^n [/mm]     ?

Ist das so korrekt?

Lg Sclossa

Bezug
                
Bezug
Taylorentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:13 Mi 31.05.2006
Autor: felixf

Hallo sclossa!

> Ist [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] abgeleitet nicht gerade
> [mm]\bruch{1}{(1-x)^2}?[/mm]

Genau!

> Dann wäre ja die gesuchte Taylorreihe gleich der Ableitung
> der
>  Taylorreihe von [mm]\bruch{1}{1-x},[/mm]
>  
> also   [mm]\summe_{n=1}^{ \infty }[/mm] n * x^(n-1)
>  =  [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] (n+1) * [mm]x^n[/mm]     ?
>  
> Ist das so korrekt?

Ja.

LG Felix


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