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Taylor, totales Differential: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:26 Fr 01.10.2010
Autor: marc1001

Aufgabe
[mm] z=f(x,y)=ln(x^2+y^2) [/mm]

a, Definitionsbereich angeben
b, Lässt sich f in der Stelle [mm] (x_0,y_0)=(0;=) [/mm] stetig fortsetzten?, Begründe!
c,Das totale Differential von f
dTaylorreihe von f in [mm] P_0(1,2) [/mm]

a,
Definitionsbereich ist [mm] x^2+y^2 \not= [/mm] 0

b,
ich würde nein sagen, da ln(0) nicht definiert ist. Aber ob das als Begründung reicht.

c,
Das totale Differential ist doch: [mm] dz=f_x*dx+f_y*dy [/mm]
[mm] dz=\bruch{2x}{x^2+y^2}*dx +\bruch{2y}{x^2+y^2}*dy [/mm]



d,
[mm] f_x_x=\bruch{-2x^2+2y^2}{(x^2+y^2)^2} f_x_x(P_0)=4/25 [/mm]
[mm] f_y_y=\bruch{-2y^2+2x^2}{(x^2+y^2)^2} f_y_y(P_0)=-6/25 [/mm]
[mm] f_x_y=f_y_x=\bruch{-4xy}{(x^2+y^2)^2} f_x_y(P_0)-8/25 [/mm]

[mm] f-x(P_0)=2/5 f_y(P0)=4/5 [/mm]

[mm] T(x,y)=ln(5)+2/5(x-1)+4/5(x-1)+1/2*[4/25(x-1)^2+2*(-8/25)(x-1)(y-2)+(-6/25)(y-2)^2] [/mm]

Kann mir jemand sagen, ob ich das soweit richtig emacht habe.
Vielen Dank


        
Bezug
Taylor, totales Differential: a)-c)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:40 Fr 01.10.2010
Autor: schachuzipus

Hallo marc1001,

> [mm]z=f(x,y)=ln(x^2+y^2)[/mm]
>
> a, Definitionsbereich angeben
> b, Lässt sich f in der Stelle [mm](x_0,y_0)=(0;=)[/mm] stetig
> fortsetzten?,

Du meinst sicher [mm](x_0,y_0)=(0,\red{0})[/mm]

> Begründe!
> c,Das totale Differential von f
> dTaylorreihe von f in [mm]P_0(1,2)[/mm]
> a,
> Definitionsbereich ist [mm]x^2+y^2 \not=[/mm] 0

Der Definitionsbereich ist doch eine Menge, schreibe das mal schöner auf: [mm]\mathbb{D}=\IR^2\setminus\{(0,0)\}[/mm] oder ähnlich ...

Du meinst es zwar richtig, aber das ist sehr kraus aufgeschrieben...

>
> b,
> ich würde nein sagen, da ln(0) nicht definiert ist. Aber
> ob das als Begründung reicht.

Natürlich nicht!

Die Funktion [mm]g(x)=\frac{x^2-9}{x-3}[/mm] ist in [mm]x=3[/mm] auch nicht definiert, kann aber durch die Festlegung [mm]f(3):=6[/mm] stetig fortgesetzt werden ...

>
> c,
> Das totale Differential ist doch: [mm]dz=f_x*dx+f_y*dy[/mm] [ok]
> [mm]dz=\bruch{2x}{x^2+y^2}*dx +\bruch{2y}{x^2+y^2}*dy[/mm] [ok]

Soweit erstmal Anmerkungen von mir ;-)

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Taylor, totales Differential: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:20 Fr 01.10.2010
Autor: marc1001

Das mit der stetigen Fortsetzbarkeit verstehe ich nicht.
Außerdem finde ich zu diesem Thema nur Sachen für eine Funktion f(x) und nichts über eine Funktion f(x,y)

Für ersteres habe ich soweit herausgefunden, daß linker und rechter Grenzwert wohl gleich seien müssen.

Kann mir jemand bitte damit helfen
Gruß
Malo

Bezug
                        
Bezug
Taylor, totales Differential: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 Fr 01.10.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Das mit der stetigen Fortsetzbarkeit verstehe ich nicht.
> Außerdem finde ich zu diesem Thema nur Sachen für eine
> Funktion f(x) und nichts über eine Funktion f(x,y)
>
> Für ersteres habe ich soweit herausgefunden, daß linker
> und rechter Grenzwert wohl gleich seien müssen.

Ja, im eindimensionalen.

Da kannst du dich einer Stelle [mm]x_0[/mm] ja auf der x-Achse nur von links oder rechts nähern.

Im zweidim. kannst du dich einer Stelle [mm](x_0,y_0)[/mm] auf unendlich vielen Wegen nähern, auf Geraden im Schlängelkurs ...

Hier musst du untersuchen, ob auf beliebigem Wege [mm](x,y)\to (0,0)[/mm] sich ein- und derselbe (Grenz-)Wert [mm]\alpha[/mm] ergibt, dann könntest du du f durch die Def. [mm]f(0,0):=\alpha[/mm] stetig in [mm](0,0)[/mm] fortsetzen.

Existiert der GW auf einem der Wege nicht oder findest du 2 "Kurse", bei denen sich verschiedene Werte ergeben, so kannst du nicht stetig ergänzen.

>
> Kann mir jemand bitte damit helfen
> Gruß
> Malo

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Taylor, totales Differential: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:06 Sa 16.10.2010
Autor: marc1001

Die Definitionslücke liegt ja bei [mm] x^2+y^2=0 [/mm]
Ok,  also würde ich erst x dann y gegen 0

[mm] \limes_{x\rightarrow 0}ln(x^2+y^2) [/mm]
[mm] \limes_{y\rightarrow 0}ln(x^2+y^2) [/mm]

Sind dann nicht beide Grenzwerte gleich. Somit lässt sich die Funktion also stetig fortsetzt ?
oder nicht

Bezug
                                        
Bezug
Taylor, totales Differential: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Mo 18.10.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                        
Bezug
Taylor, totales Differential: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:03 Mo 18.10.2010
Autor: marc1001

Ist das so richtig?

Bezug
        
Bezug
Taylor, totales Differential: d)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:27 Fr 01.10.2010
Autor: MathePower

Hallo marc1001,


> [mm]z=f(x,y)=ln(x^2+y^2)[/mm]

>  dTaylorreihe von f in [mm]P_0(1,2)[/mm]

> d,
> [mm]f_x_x=\bruch{-2x^2+2y^2}{(x^2+y^2)^2} f_x_x(P_0)=4/25[/mm]


Hier hab ich einen anderen Wert heraus.


>  
> [mm]f_y_y=\bruch{-2y^2+2x^2}{(x^2+y^2)^2} f_y_y(P_0)=-6/25[/mm]
>  
> [mm]f_x_y=f_y_x=\bruch{-4xy}{(x^2+y^2)^2} f_x_y(P_0)-8/25[/mm]
>  
> [mm]f-x(P_0)=2/5 f_y(P0)=4/5[/mm]


Hier fehlt die partielle Ableitung von f nach y an der Stelle [mm]P_{0}[/mm]


>  
> [mm]T(x,y)=ln(5)+2/5(x-1)+4/5(x-1)+1/2*[(4/25)(x-1)^2+2*(-8/25)(x-1)(y-2)+(-6/25)(y-2)^2][/mm]


Hier hast Du Dich verschrieben:

[mm]T(x,y)=ln(5)+2/5(x-1)+4/5(\blue{y}-1)+1/2*[\red{4/25}(x-1)^2+2*(-8/25)(x-1)(y-2)+(-6/25)(y-2)^2][/mm]

Der rot markierte Wert ist falsch.


>  
> Kann mir jemand sagen, ob ich das soweit richtig emacht
> habe.


>  Vielen Dank

>


Gruss
MathePower  

Bezug
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