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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:44 Di 15.11.2011 | | Autor: | Mathec |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR \to \IR^n [/mm] einmal stetig differenzierbar. Dann existiert für alle [mm] x,\xi \in \IR^n [/mm] ein [mm] \lambda \in [/mm] [0,1], so dass
f(x) = [mm] f(\xi) [/mm] + [mm] , [/mm] wobei G der Gradient von f sei und <,> das gewöhnliche Skalarprodukt.
Gegeben sei nun f(x,y) = [mm] (x+y)^2. [/mm] Verifizieren Sie die obenstehende Aussage für den Entwicklungspunkt (0,0). |
Hallo Leute!
Ich brauche mal wieder eure Hilfe!
In der Musterlösung steht zu obiger Aufgabe:
[mm] (x+y)^2 [/mm] = 0+ [mm] \lambda<\vektor{x+y \\ x+y},\vektor{x \\ y}> [/mm] und damit [mm] \lambda=1!
[/mm]
Ich habe an dieser Aussage einige Zweifel:
Es ist doch [mm] Gf(\lambda \vektor{x \\ y}) =Gf(\vektor{\lambda x \\ \lambda y}) [/mm] = [mm] \vektor{2(\lambda x+ \lambda y)\lambda \\ 2(\lambda x+ \lambda y)\lambda }
[/mm]
und damit muss doch gelten
[mm] (x+y)^2 [/mm] =0+ [mm] 2\lambda^2<\vektor{x+y \\x+ y},\vektor{x \\ y}>
[/mm]
und somit wäre [mm] \lambda=\bruch{1}{\wurzel(2)}.
[/mm]
Kann mir jemand helfen??
Danke!
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Hallo mathec,
> Sei [mm]f:\IR \to \IR^n[/mm] einmal stetig differenzierbar.
Hier ist [mm] f:\IR^n\to\IR [/mm] gemeint.
> Dann existiert für alle [mm]x,\xi \in \IR^n[/mm] ein [mm]\lambda \in[/mm] [0,1], so dass
> f(x) = [mm]f(\xi)[/mm] + [mm],[/mm]
> wobei G der Gradient von f sei und <,> das gewöhnliche Skalarprodukt.
Hier sollte Gf den Gradienten bezeichnen.
> Gegeben sei nun f(x,y) = [mm](x+y)^2.[/mm] Verifizieren Sie die
> obenstehende Aussage für den Entwicklungspunkt (0,0).
> Hallo Leute!
> Ich brauche mal wieder eure Hilfe!
> In der Musterlösung steht zu obiger Aufgabe:
> [mm](x+y)^2[/mm] = 0+ [mm]\lambda<\vektor{x+y \\ x+y},\vektor{x \\ y}>[/mm] und damit [mm]\lambda=1![/mm]
> Ich habe an dieser Aussage einige Zweifel:
> Es ist doch [mm]Gf(\lambda \vektor{x \\ y}) =Gf(\vektor{\lambda x \\ \lambda y})[/mm] = [mm]\vektor{2(\lambda x+ \lambda y)\lambda \\ 2(\lambda x+ \lambda y)\lambda }[/mm]
Nein, es ist [mm] Gf(\lambda \vektor{x \\ y})=\vektor{\partial_x f(\lambda x,\lambda y)\\\partial_y f(\lambda x,\lambda y)}=\red{2}\lambda\vektor{x+y\\x+y}.
[/mm]
Beachte [mm] $\partial_x f(x,y)=\red{2(}x+y\red{)}=\partial_y [/mm] f(x,y)$.
>
> und damit muss doch gelten
> [mm](x+y)^2[/mm] =0+ [mm]2\lambda^2<\vektor{x+y \\x+ y},\vektor{x \\ y}>[/mm]
>
> und somit wäre [mm]\lambda=\bruch{1}{\wurzel(2)}.[/mm]
> Kann mir jemand helfen??
> Danke!
LG
EDIT: ROT
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Di 15.11.2011 | | Autor: | Mathec |
Hi!
Erstmal danke für die Antwort!
> Beachte [mm]\partial_x f(x,y)=x+y=\partial_y f(x,y)[/mm].
Du behauptest tatsächlich, dass die partielle Ableitung von f(x,y)= [mm] (x+y)^2 [/mm] nach x gleich x+y ist??? Meiner Meinung nach ist das 2(x+y) wegen der äußeren Ableitung!
Und es ist doch auch [mm] f(\lambda [/mm] x, [mm] \lambda [/mm] y) = [mm] (\lambda [/mm] x [mm] +\lambda y)^2....
[/mm]
Jetzt bin ich wirklich total verwirrt :-(
Liebe Grüße
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Guten Abend mathec,
> Du behauptest tatsächlich, dass die partielle Ableitung
> von f(x,y)= [mm](x+y)^2[/mm] nach x gleich x+y ist???
Das war natürlich grober Unsinn, den ich da geschrieben habe und du hast vollkommen Recht, dass da noch ein Faktor 2 auftaucht. Jetzt versuchen wir es noch einmal zu 100% richtig zu machen:
$ [mm] Gf(\lambda \vektor{x \\ y})=\vektor{\partial_x f(\lambda x,\lambda y)\\\partial_y f(\lambda x,\lambda y)}=2\lambda\vektor{x+y\\x+y}. [/mm] $
mit $ [mm] \partial_x f(x,y)=2(x+y)=\partial_y [/mm] f(x,y) $.
Damit folgt dann [mm] \lambda=\frac{1}{2} [/mm] im Gegensatz zur Behauptung der Musterlösung.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Di 15.11.2011 | | Autor: | Mathec |
Nein, ich glaube, das stimmt immer noch nicht!
Es ist doch [mm] f(\lambda [/mm] x, [mm] \lambda [/mm] y) = [mm] (\lambda [/mm] x + [mm] \lambda y)^2
[/mm]
und wenn ich dann doch nach x ableite, ergibt sich wieder mit der Kettenregel:
[mm] 2(\lambda [/mm] x und [mm] \lambda y)\lambda [/mm] und das gleiche ergibt sich, wenn ich nach y ableite!
Oder???
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Hallo Mathec,
> Nein, ich glaube, das stimmt immer noch nicht!
> Es ist doch [mm]f(\lambda[/mm] x, [mm]\lambda[/mm] y) = [mm](\lambda[/mm] x + [mm]\lambda y)^2[/mm]
>
> und wenn ich dann doch nach x ableite, ergibt sich wieder
> mit der Kettenregel:
> [mm]2(\lambda[/mm] x und [mm]\lambda y)\lambda[/mm] und das gleiche ergibt
> sich, wenn ich nach y ableite!
> Oder???
Die generelle Vorgehensweise ist die:
Zuerst wird [mm]f\left(x,y\right)[/mm] nach x bzw. y differenziert
und dann für x,y die Argumente [mm]\lambda*x[/mm] bzw. [mm]\lambda*y[/mm] eingesetzt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Mi 16.11.2011 | | Autor: | Mathec |
Hallo Mathepower!
Erstmal danke!
Das würde aber auch bedeuten, dass die Musterlösung falsch ist und [mm] \lambda [/mm] nicht 1, sondern [mm] \bruch{1}{2} [/mm] wäre. Richtig?
LG Mathec
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Hallo Mathec,
> Hallo Mathepower!
> Erstmal danke!
> Das würde aber auch bedeuten, dass die Musterlösung
> falsch ist und [mm]\lambda[/mm] nicht 1, sondern [mm]\bruch{1}{2}[/mm] wäre.
> Richtig?
Richtig.
> LG Mathec
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 Mi 16.11.2011 | | Autor: | Mathec |
DANKE!!!!
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