Taylor, Restglied < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Sa 18.01.2014 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | | Zeigen Sie unter Anwendung der Restgliedformel, dass eine Taylorentwicklung bis zur zweiten Ordnung auf dem Intervall [0; 5] keinen größeren Fehler als die aktuelle Jahreszahl machen kann, d.h. zeigen Sie, dass |T(x) - f(x)| [mm] \le [/mm] 2014 für alle x 2 [0; 5]. |
Hi zusammen,
das Taylorentwicklung um [mm] x_0=5 [/mm] zweiter Ordnung von f(x) = [mm] \bruch{2x^2 - 4x -16}{2x - 12} [/mm] habe ich schon berechnet.
[mm] T_2(x) [/mm] = [mm] \bruch{7}{11} [/mm] - 15x + [mm] \bruch{8}{247}x^2
[/mm]
Jetzt komme ich jedoch nicht weiter.
[mm] R_n(x,x_0) [/mm] = [mm] \bruch{f^(n+1) (c)}{(n+1)!} [/mm] * (x - [mm] x_0)^{n+1}
[/mm]
Muss ich jetzt folgendes machen ?
[mm] |\bruch{f^(3) (c)}{3!} [/mm] * (x - 5)^(3)| [mm] \le [/mm] 2014
Um ehrlich zu sein habe ich keine Ahnung was ich machen habe.
Habe mal ein wenig im Internet gestöbert und im Skript. Jedoch bin dadurch nicht wirklich schlauer geworden.
Danke für die Hilfe im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Sa 18.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie unter Anwendung der Restgliedformel, dass eine
> Taylorentwicklung bis zur zweiten Ordnung auf dem Intervall
> [0; 5] keinen größeren Fehler als die aktuelle
> Jahreszahl machen kann, d.h. zeigen Sie, dass |T(x) - f(x)|
> [mm]\le[/mm] 2014 für alle x 2 [0; 5].
> Hi zusammen,
>
> das Taylorentwicklung um [mm]x_0=5[/mm] zweiter Ordnung von f(x) =
> [mm]\bruch{2x^2 - 4x -16}{2x - 12}[/mm] habe ich schon berechnet.
> [mm]T_2(x)[/mm] = [mm]\bruch{7}{11}[/mm] - 15x + [mm]\bruch{8}{247}x^2[/mm]
Das ist falsch !
>
> Jetzt komme ich jedoch nicht weiter.
> [mm]R_n(x,x_0)[/mm] = [mm]\bruch{f^(n+1) (c)}{(n+1)!}[/mm] * (x -
> [mm]x_0)^{n+1}[/mm]
>
> Muss ich jetzt folgendes machen ?
> [mm]|\bruch{f^(3) (c)}{3!}[/mm] * (x - 5)^(3)| [mm]\le[/mm] 2014
>
> Um ehrlich zu sein habe ich keine Ahnung was ich machen
> habe.
Na was wohl ?
Für x [mm] \in [/mm] [0,5] ist [mm] |x-5|^3 \le 5^3=125.
[/mm]
Zeige also: [mm] |\bruch{f^(3) (c)}{3!}| \le \bruch{2014}{125} [/mm] für c [mm] \in [/mm] [0,5]
FRED
> Habe mal ein wenig im Internet gestöbert und im Skript.
> Jedoch bin dadurch nicht wirklich schlauer geworden.
>
> Danke für die Hilfe im voraus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:21 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
ich hatte die Ableitungen falsch berechnet und habe es jetzt nochmal gemacht.
f(x) = [mm] \bruch{2x^2 - 4x - 16}{2x - 12}
[/mm]
f`(x) = [mm] \bruch{x^2 - 12x + 20}{(x-6)^2}
[/mm]
f``(x) = [mm] \bruch{32}{(x-6)^3}
[/mm]
f(5) = -7
f`(5) = -15
f``(5) = -32
[mm] T_2(x) [/mm] = -7 -15x [mm] -16x^2
[/mm]
Jetzt zum Restglied:
Ich habe jetzt alle Werte von 0 bis 5 für eingesetzt und immer ist der Betrag kleiner als 2014/125.
Ist das jedoch die Art und Weise dies zu berechnen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
also scheinbar habe ich es mit den Taylorpolynomen einfach nicht drauf.
Es gilt doch:
[mm] T_2(5) [/mm] = [mm] \bruch{f(5)}{0!} [/mm] * [mm] (x-0)^0 [/mm] + [mm] \bruch{f'(5)}{1!} [/mm] * [mm] (x-0)^1 [/mm] + [mm] \bruch{f''(5)}{2!} [/mm] * [mm] (x-0)^2
[/mm]
= [mm] \bruch{-7}{1} [/mm] * 1 + [mm] \bruch{-15}{1} [/mm] * x + [mm] \bruch{-32}{2} [/mm] * [mm] x^2
[/mm]
= -7 -15x - [mm] 16x^2
[/mm]
Wo liegt denn mein Fehler ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 Mo 20.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Hi,
> also scheinbar habe ich es mit den Taylorpolynomen einfach
> nicht drauf.
>
> Es gilt doch:
>
> [mm]T_2(5)[/mm] = [mm]\bruch{f(5)}{0!}[/mm] * [mm](x-0)^0[/mm] + [mm]\bruch{f'(5)}{1!}[/mm] *
> [mm](x-0)^1[/mm] + [mm]\bruch{f''(5)}{2!}[/mm] * [mm](x-0)^2[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wieso subtrahierst du überall Null?
> = [mm]\bruch{-7}{1}[/mm] * 1 + [mm]\bruch{-15}{1}[/mm] * x + [mm]\bruch{-32}{2}[/mm]
> * [mm]x^2[/mm]
> = -7 -15x - [mm]16x^2[/mm]
>
> Wo liegt denn mein Fehler ?
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Oh,
ich habe mir ein Beispiel rausgesucht bei dem der Entwicklungspunkt 0 ist.
Also muss ich immer (x-"Entwicklungspunkt") berechen.
In diesem Fall (x-5) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 Mo 20.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Oh,
> ich habe mir ein Beispiel rausgesucht bei dem der
> Entwicklungspunkt 0 ist.
> Also muss ich immer (x-"Entwicklungspunkt") berechen.
>
> In diesem Fall (x-5) ?
Ja genau, danach gut zusammenfassen und den Post von Fred lesen.
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:25 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Also habe folgendes:
[mm] T_2(5) [/mm] = [mm] \bruch{-7}{1} [/mm] * [mm] (x-5)^0 [/mm] + [mm] \bruch{-15}{1} [/mm] * [mm] (x-5)^1 [/mm] + [mm] \bruch{-32}{2} [/mm] * [mm] (x-5)^2
[/mm]
= -7 - 15x + 75 - [mm] 16x^2 [/mm] + 160x - 400
[mm] =-16x^2 [/mm] + 145x - 332
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 Mo 20.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> ich hatte die Ableitungen falsch berechnet und habe es
> jetzt nochmal gemacht.
> f(x) = [mm]\bruch{2x^2 - 4x - 16}{2x - 12}[/mm]
> f'(x) = [mm]\bruch{x^2 - 12x + 20}{(x-6)^2}[/mm]
>
> f''(x) = [mm]\bruch{32}{(x-6)^3}[/mm]
>
> f(5) = -7
> f'(5) = -15
> f''(5) = -32
>
> [mm]T_2(x)[/mm] = -7 -15x [mm]-16x^2[/mm]
>
> Jetzt zum Restglied:
> Ich habe jetzt alle Werte von 0 bis 5 für eingesetzt und
> immer ist der Betrag kleiner als 2014/125.
Tatsächlich ..... ? Wie bist Du denn da fertig geworden ????
Besser gefragt. wann hast Du vor, damit fertig zu sein ?
Eine ordentlich begründete Abschätzung von [mm] |\bruch{f^{(3)} (c)}{3!}| [/mm] ist gefragt
FRED
>
> Ist das jedoch die Art und Weise dies zu berechnen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
habe mir jetzt einige Beispiel im Internet angeguckt. Wirklich weiter hat mich das jedoch nicht gebracht.
f'''(x) = [mm] \bruch{32}{(x-6)^3}
[/mm]
[mm] |\bruch{\bruch{32}{(c-6)^3}}{3!}| [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{32}{|(c-6)^3|}}{6} [/mm] = [mm] \bruch{32}{6*|(c-6)^3|} [/mm] = [mm] \bruch{16}{3*|(c-6)^3|}
[/mm]
Kann jetzt sagen das der Bruch für [mm] c\in[0,5] [/mm] minimals 3 werden kann. Also der maximale Wert des Bruches ist 16/3 und das ist ja kleiner als 2014/125.
Ist das die richtige Abschätzung ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Mo 20.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> habe mir jetzt einige Beispiel im Internet angeguckt.
> Wirklich weiter hat mich das jedoch nicht gebracht.
> f'''(x) = [mm]\bruch{32}{(x-6)^3}[/mm]
Das ist abeer nicht die 3. Ableitung von f !
FRED
> [mm]|\bruch{\bruch{32}{(c-6)^3}}{3!}|[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{32}{|(c-6)^3|}}{6}[/mm] = [mm]\bruch{32}{6*|(c-6)^3|}[/mm]
> = [mm]\bruch{16}{3*|(c-6)^3|}[/mm]
>
> Kann jetzt sagen das der Bruch für [mm]c\in[0,5][/mm] minimals 3
> werden kann. Also der maximale Wert des Bruches ist 16/3
> und das ist ja kleiner als 2014/125.
>
> Ist das die richtige Abschätzung ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Oh ja, entschuldigung. Das ist die zweite Ableitung. Ich mach es gleich nochmal.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
f```(x) = [mm] \bruch{-96}{(x-6)^4}
[/mm]
[mm] |\bruch{\bruch{-96}{(c-6)^4}}{6}| [/mm] = [mm] |\bruch{-96}{6*(c-6)^4}| [/mm] = [mm] |\bruch{-16}{(c-6)^4}|
[/mm]
Also der maximale Wert der zu erreichen ist, für c [mm] \in [/mm] [0,5], 16.
2014/125 = 16,112 also > 16
Ist meine Rechnung so korrekt und ausreichend ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Mo 20.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> f'''(x) = [mm]\bruch{-96}{(x-6)^4}[/mm]
>
> [mm]|\bruch{\bruch{-96}{(c-6)^4}}{6}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{-96}{6*(c-6)^4}|[/mm] = [mm]|\bruch{-16}{(c-6)^4}|[/mm]
>
> Also der maximale Wert der zu erreichen ist, für c [mm]\in[/mm]
> [0,5], 16.
> 2014/125 = 16,112 also > 16
>
> Ist meine Rechnung so korrekt und ausreichend ?
Jetzt passt alles !
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Ich danke euch für die zahlreiche Hilfe.
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