Taylor: Näherung von f(x)*g(x) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Mi 07.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Eine etwas allgemeinere Frage:
kann man bei Funktionen, die als Produkt verschiedener Funktionen dargestellt werden können, das Taylorpolynom als Produkt der einzelnen Taylorreihen darstellen?
also zB Taylorpolynom von
[mm] f(x)=e^{x}*sin(x)
[/mm]
als Produkt der Reihen der e-Funktion und der Sinusfunktion?
f(x)=x*arctan(x)
g(x)=x
h(x)=arctan(x)
g(x) ist ja beliebig oft differentierbar, aber alle Ableitungen höher 1 sind 0?
Ich glaube jedoch mich dunkel erinnern zu können, dass man Potenzreihen multiplizieren darf?
Liebe Grüße
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Mi 07.05.2008 | | Autor: | max3000 |
> g(x) ist ja beliebig oft differentierbar, aber alle
> Ableitungen höher 1 sind 0?
Ist ja klar, g(x) ist ja in gewisser Weise schon ein Taylorpolynom eben dieser Funktion im Entwicklungspunkt 0: g(x)=g(0)+g'(0)*(x-0)+g''(0)...=x
Ansonsten gibt es da noch das Cauchyprodukt von Reihen, aber ich glaube das hilft dir hier nicht weiter. Bei deinen Aufgaben bleibt dir wohl nur übrig alle Ableitung wie gewohnt zu ermitteln und das alles ganz normal zu entwickeln.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Mi 07.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
also kann ich die Taylorreihen nicht "einzeln" ausrechnen und dann multiplizieren?...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:33 Do 08.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> kann man bei Funktionen, die als Produkt verschiedener
> Funktionen dargestellt werden können, das Taylorpolynom als
> Produkt der einzelnen Taylorreihen darstellen?
Ja, das darfst du. Zumindest wenn die beteiligten Funktionen oft genug stetig diffbar sind.
> also zB Taylorpolynom von
>
> [mm]f(x)=e^{x}*sin(x)[/mm]
>
> als Produkt der Reihen der e-Funktion und der
> Sinusfunktion?
Ja.
> f(x)=x*arctan(x)
> g(x)=x
> h(x)=arctan(x)
>
> g(x) ist ja beliebig oft differentierbar, aber alle
> Ableitungen höher 1 sind 0?
Ja.
> Ich glaube jedoch mich dunkel erinnern zu können, dass man
> Potenzreihen multiplizieren darf?
Ja, mit dem Cauchy-Produkt.
Dass das mit den Taylor-Reihen auch klappt liegt im Prinzip an der Leibniz-Formel: $(f [mm] g)^{(n)} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}$. [/mm] Wenn du das in die Taylor-Formel einsetzt und [mm] $\binom{n}{k} [/mm] = [mm] \frac{n!}{k! (n-k)!}$ [/mm] benutzt, siehst du, dass die Taylorreihe von $f g$ gleich dem Cauchy-Produkt der Taylor-Reihen von $f$ und $g$ ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:43 Do 08.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
danke für deinen Hinweis!
leider habe ich es noch immer nicht geschafft, x.arctan(x) auf diese Art zu entwickeln. ..
ich gehe dabei von [mm] (arctan(x))'=\bruch{1}{1+x^{2}} [/mm] aus, entwickle das in eine Potenzreihe und soll dann darüber integrieren.
ich komme aber nicht auf die richtige Darstellung :(
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Hallo!
So ganz verstehe ich dein jetziges Problem nicht. Hast du generell ein Problem, die ersten Glieder aufzustellen, oder suchst du eine Summenformel für die komplette Entwicklung?
Generell gehts doch so:
[mm] \arctan(x)=\arctan(x_0)+\frac{1}{x_0^2+1}*(x-x_0)-\frac{1}{2!}\frac{2x_0}{(x_0^2+1)^2}*(x-x_0)^2+\frac{1}{3!}\frac{2(3x_0^2-1)}{(x_0^2+1)^3}*(x-x_0)^3+...
[/mm]
Allgemein müßtest du nun die Taylor-Formel von x
$x= [mm] x_0+(x-x_0)$
[/mm]
nehmen und mit der o.g. Formel durchmultiplizieren. Diese etwas eigentümliche Schreibweise sorgt dafür, daß du weiterhin die Faktoren [mm] (x-x_0)^i [/mm] in deiner Taylordarstellung behälst. Du kannst natürlich gerne einfach x=x benutzen, dann geht allerdings diese urpsrüngliche Form der Faktoren kaputt (es sei denn, du entwickelst um 0).
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