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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:52 Mo 06.07.2009 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | | Stellen Sie die Taylorentwicklung einer Verfahrensfunktion für ein Zweistufiges Runge-Kutta-Verfahren auf. |
Allgemein habe ich ja die Verfahrensfunktion:
[mm] \eta_{k+1} [/mm] = y + [mm] h*\sum_{i=1}^2{b_i*k_i}
[/mm]
also ausgeschrieben:
[mm] \eta_{k+1} [/mm] = y + [mm] h*b_1*f(t,y) [/mm] + [mm] h*b_2*f(t+c_2*h, [/mm] y + [mm] h*a_{21}*f(t,y))
[/mm]
Aber wie komme ich jetzt hier auf die Taylorreihe:
y + [mm] h(b_1*f+b_2*f)+h^2*(f_t*b_2*c_2 [/mm] + [mm] f_y*f*b_2*a_{21}) [/mm] + [mm] Oh^3
[/mm]
Prinzipiell ist die Taylorentwickung schon klar:
y(t+h) = y + h*y' + [mm] \frac{h^2}{2}*y'' [/mm] + [mm] Oh^3
[/mm]
bzw allgemein y(t+h) = [mm] \sum_{k=0}^\infty{\frac{h^k}{k!}*y^{(k)}(t)}
[/mm]
Hier gilt dann y(t+h) = [mm] \eta_{k+1}
[/mm]
Wenn ich dann die Verfahrensfunktion betrachte:
für k = 0 erhalte ich:
y + ? (was mach ich dann hier mit den anderen summanden?) müsste nicht eigentlich hier iwie die ganze Funktion stehen??? ...
Ich hab das Gefühl, dass ich hier vollkommen auf dem Schlauch stehe. Es wäre schön wenn mir hier jemand klarheit reinbringen könnte.
Danke schonmal und Gruß
Zerwas
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Zerwas,
> Stellen Sie die Taylorentwicklung einer Verfahrensfunktion
> für ein Zweistufiges Runge-Kutta-Verfahren auf.
> Allgemein habe ich ja die Verfahrensfunktion:
> [mm]\eta_{k+1}[/mm] = y + [mm]h*\sum_{i=1}^2{b_i*k_i}[/mm]
> also ausgeschrieben:
> [mm]\eta_{k+1}[/mm] = y + [mm]h*b_1*f(t,y)[/mm] + [mm]h*b_2*f(t+c_2*h,[/mm] y +
> [mm]h*a_{21}*f(t,y))[/mm]
>
> Aber wie komme ich jetzt hier auf die Taylorreihe:
> y + [mm]h(b_1*f+b_2*f)+h^2*(f_t*b_2*c_2[/mm] + [mm]f_y*f*b_2*a_{21})[/mm] +
> [mm]Oh^3[/mm]
Entwickle [mm]f(t+c_2*h, y + h*a_{21}*f(t,y))[/mm] um [mm]\left(t,y\right)[/mm]
>
> Prinzipiell ist die Taylorentwickung schon klar:
> y(t+h) = y + h*y' + [mm]\frac{h^2}{2}*y''[/mm] + [mm]Oh^3[/mm]
> bzw allgemein y(t+h) =
> [mm]\sum_{k=0}^\infty{\frac{h^k}{k!}*y^{(k)}(t)}[/mm]
Die DGL hast Du ja in der Form
[mm]y'\left(t\right)=f\left( \ t,y\left(t\right) \ \right)[/mm]
gegeben.
Nun benötigst Du noch die zweite Ableitung y''.
Setze dies dann in
[mm]y + h*y' + \frac{h^2}{2}*y''[/mm]
ein, und vergleiche das mit der Taylorentwicklung von
[mm]y +h*b_1*f(t,y) + h*b_2*f(t+c_2*h, y + h*a_{21}*f(t,y))[/mm]
>
> Hier gilt dann y(t+h) = [mm]\eta_{k+1}[/mm]
> Wenn ich dann die Verfahrensfunktion betrachte:
> für k = 0 erhalte ich:
> y + ? (was mach ich dann hier mit den anderen summanden?)
> müsste nicht eigentlich hier iwie die ganze Funktion
> stehen??? ...
>
> Ich hab das Gefühl, dass ich hier vollkommen auf dem
> Schlauch stehe. Es wäre schön wenn mir hier jemand
> klarheit reinbringen könnte.
>
> Danke schonmal und Gruß
> Zerwas
>
> Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Mo 06.07.2009 | | Autor: | Zerwas |
Okay dann Taylore ich erst einmal [mm] k_1 [/mm] und [mm] k_2
[/mm]
[mm] k_1 [/mm] = f(t,y) das bleibt wies ist
[mm] k_2 [/mm] = f(t + [mm] c_2*h, y+a_{21}*h*f(t,y)
[/mm]
=f(t,y) + [mm] (c_2*h)*(f_t [/mm] +f_yf) + [mm] \frac{(c_2h)^2}{2}*(f_{tt} [/mm] + [mm] 2f_{ty}f+f_{yy}f^2+f_y(f_t+f_yf))+O(h^3)
[/mm]
Dann kann ich meine Konsistenzordnung bestimmen:
[mm] \tau [/mm] = [mm] \frac{1}{h}(y(t) [/mm] + h*y'(t) + [mm] \frac{h^2}{2}*y''(t) [/mm] + [mm] O(h^3)- [/mm] y(t)) - [mm] b_1*k_1 [/mm] - [mm] b_2*k2
[/mm]
= y'(t) + [mm] \frac{h}{2}*y''(t) +O(h^3) [/mm] - [mm] b_1*y'(t) [/mm] - [mm] b_2*y'(t) [/mm] - [mm] b_2*(c_2*h)*y''(t) [/mm] - [mm] b_2* \frac{(c_2h)^2}{2}*y'''(t)+O(h^3)
[/mm]
Da bei einen konsistenten RKV die Summe der [mm] b_i [/mm] = 1 gilt:
= [mm] \frac{h}{2}*y''(t) [/mm] + [mm] O(h^3) [/mm] - [mm] b_2*(c_2*h)*y''(t) [/mm] - [mm] b_2* \frac{(c_2h)^2}{2}*y'''(t)+O(h^3)
[/mm]
Alles weitere hängt jetzt von den andern Koeffizienten ab.
Passt das so?
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Hallo Zerwas,
> Okay dann Taylore ich erst einmal [mm]k_1[/mm] und [mm]k_2[/mm]
>
> [mm]k_1[/mm] = f(t,y) das bleibt wies ist
> [mm]k_2[/mm] = f(t + [mm]c_2*h, y+a_{21}*h*f(t,y)[/mm]
> =f(t,y) +
> [mm](c_2*h)*(f_t[/mm] +f_yf) + [mm]\frac{(c_2h)^2}{2}*(f_{tt}[/mm] +
> [mm]2f_{ty}f+f_{yy}f^2+f_y(f_t+f_yf))+O(h^3)[/mm]
Hier mußt Du die Taylorformel im mehrdimensionalen anwenden.
>
> Dann kann ich meine Konsistenzordnung bestimmen:
> [mm]\tau[/mm] = [mm]\frac{1}{h}(y(t)[/mm] + h*y'(t) + [mm]\frac{h^2}{2}*y''(t)[/mm] +
> [mm]O(h^3)-[/mm] y(t)) - [mm]b_1*k_1[/mm] - [mm]b_2*k2[/mm]
> = y'(t) + [mm]\frac{h}{2}*y''(t) +O(h^3)[/mm] - [mm]b_1*y'(t)[/mm] -
> [mm]b_2*y'(t)[/mm] - [mm]b_2*(c_2*h)*y''(t)[/mm] - [mm]b_2* \frac{(c_2h)^2}{2}*y'''(t)+O(h^3)[/mm]
Hier ist die Grundlage für die Bildung der Ableitungen die DGL.
>
> Da bei einen konsistenten RKV die Summe der [mm]b_i[/mm] = 1 gilt:
>
> = [mm]\frac{h}{2}*y''(t)[/mm] + [mm]O(h^3)[/mm] - [mm]b_2*(c_2*h)*y''(t)[/mm] - [mm]b_2* \frac{(c_2h)^2}{2}*y'''(t)+O(h^3)[/mm]
>
> Alles weitere hängt jetzt von den andern Koeffizienten
> ab.
>
> Passt das so?
Leider nein.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:16 Di 07.07.2009 | | Autor: | Zerwas |
Okay
Die Mehrdimensionale Taylorformel sieht so aus:
f(x) = [mm] \sum_{\abs{a}\le n}{\frac{1}{\alpha !}\delta^{\alpha}f(a)(x-a)^{\alpha}} [/mm] + R
Wenn ich also bis ins zweite Glied entwickeln will:
f(x+h) = f(x) + (grad [mm] f(x))^t*h [/mm] + [mm] \frac{1}{2}*h^t*Hf(x)*h [/mm] + [mm] O(\abs{h}^3)
[/mm]
mit der Hesse Matrix H
Wenn ich jetzt also habe:
[mm] k_2 [/mm] = [mm] f(t+c_2*h, [/mm] y + [mm] h*a_{21}*f(t,y))
[/mm]
bekomme ich dann also mit der Taylor Entwicklung und h = [mm] \vektor{c_2*h \\ h*a_{21}*f(t,y)}
[/mm]
f(x+h) = f(t,y) + [mm] (c_2*h)*f_t(t,y) [/mm] + [mm] (h*a_{21}*f(t,y))*f_y(t,y) [/mm] + [mm] \frac{(c_2*h)^2}{2}*f_{tt}(t,y)+\frac{(h*a_{21}*f(t,y))^2}{2}f_{yy}(t,y)+(c_2*h)*(h*a_{21}*f(t,y))*f_{ty}(t,y)+R(\abs{h}^3)
[/mm]
Stimmt das so?
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Hallo Zerwas,
> Okay
>
> Die Mehrdimensionale Taylorformel sieht so aus:
> f(x) = [mm]\sum_{\abs{a}\le n}{\frac{1}{\alpha !}\delta^{\alpha}f(a)(x-a)^{\alpha}}[/mm]
> + R
>
> Wenn ich also bis ins zweite Glied entwickeln will:
> f(x+h) = f(x) + (grad [mm]f(x))^t*h[/mm] + [mm]\frac{1}{2}*h^t*Hf(x)*h[/mm]
> + [mm]O(\abs{h}^3)[/mm]
> mit der Hesse Matrix H
>
> Wenn ich jetzt also habe:
> [mm]k_2[/mm] = [mm]f(t+c_2*h,[/mm] y + [mm]h*a_{21}*f(t,y))[/mm]
> bekomme ich dann also mit der Taylor Entwicklung und h =
> [mm]\vektor{c_2*h \\ h*a_{21}*f(t,y)}[/mm]
>
> f(x+h) = f(t,y) + [mm](c_2*h)*f_t(t,y)[/mm] +
> [mm](h*a_{21}*f(t,y))*f_y(t,y)[/mm] +
> [mm]\frac{(c_2*h)^2}{2}*f_{tt}(t,y)+\frac{(h*a_{21}*f(t,y))^2}{2}f_{yy}(t,y)+(c_2*h)*(h*a_{21}*f(t,y))*f_{ty}(t,y)+R(\abs{h}^3)[/mm]
>
> Stimmt das so?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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