Taylor -Formel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Sa 02.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Ich habe gewisse Probleme die Taylor -Formel für die vektorwertigen Funktionen zu verstehen.
Aus Analysis I kenne ich bereits die Taylor - Formel, die grob ausssagt , dass man gewisse Funktionen als Potenzreihen schreiben kann, well die Abschätzung des Restgleides gegen Null konvergiert.
Aber hier bin ich sehr verwirrt durch die Benutzung der vielen Indizes und n - Multi Index, und bekomme irgendwie nicht so den Draht zum Inhalt.. Ich hoffe, dass mir jemand dabei behilflich sein kann!
Taylor - Formel :
Sei U offen in [mm] \mathbb R^n [/mm], [mm] f: U \to \mathbb R [/mm] von der Klasse [mm] C^{k+1} [/mm].
a) Seien [mm] x , \xi \in \mathbb R^n [/mm], so dass die Verbindungsstrecke zwischen [mm] x [/mm] und [mm] x + \xi [/mm] in U liegt. Dann ist
[mm] f( x + \xi ) = \summe_{ | \alpha | \le k } \bruch{ D^{\alpha} f(x) }{ \alpha! } \xi^{ \alpha} + (k + 1) \cdot \summe_{ | \alpha | = k + 1 } \integral_0^1 ( 1 - t)^k \bruch{ D^{ \alpha} f( x + t \xi ) }{ \alpha ! } \xi^{ \alpha} dt [/mm]
b) Ist [mm] x \in U [/mm] und definiert man
[mm] R ( \xi ) := f ( x + \xi ) - \summe_{ | \alpha | \le k+1 } \bruch{ D^{ \alpha } f(x) }{ \alpha ! } \xi ^\alpha \ \forall \ \xi \in \mathbb R^n [/mm] mit [mm]x + \xi \in U [/mm]
so ist [mm] \limes_{ \xi \to 0 } \bruch{ R( \xi) }{ \| \xi \| ^{k+1} } = 0 [/mm]
Vielen Dank schon mal!
Viele Grüße
Irmchen
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> Guten Abend!
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> Ich habe gewisse Probleme die Taylor -Formel für die
> vektorwertigen
Nur so nebenbei: "vektorwertig" (im engeren Sinne) ist eine Funktion [mm] $f:D_f\subseteq \IR^n\rightarrow \IR$ [/mm] nicht. Der Funktionswert ist ein Skalar: nur das Argument der Funktion ist (allenfalls) ein Vektor.
> Funktionen zu verstehen.
> Aus Analysis I kenne ich bereits die Taylor - Formel, die
> grob ausssagt , dass man gewisse Funktionen als
> Potenzreihen schreiben kann, well die Abschätzung des
> Restgleides gegen Null konvergiert.
>
> Aber hier bin ich sehr verwirrt durch die Benutzung der
> vielen Indizes und n - Multi Index, und bekomme irgendwie
> nicht so den Draht zum Inhalt..
Ich denke: gegen diese Krankheit gibt es zwei bewährte Hausmittelchen. Das erste: den Spezialfall dieser Formel für $n=1$ als die gute alte Taylor-Formel aus der 1dim Analysis hinzuschreiben und als solche zu erkennen. Und das zweite: Beispielaufgaben für den Fall $n>1$ zu lösen. Falls Du keine eigenen Aufgaben zu diesem Thema hast, kannst Du vielleicht in diesem Forum Beispiele finden.
> Ich hoffe, dass mir jemand
> dabei behilflich sein kann!
>
> Taylor - Formel :
>
> Sei U offen in [mm]\mathbb R^n [/mm], [mm]f: U \to \mathbb R[/mm] von der
> Klasse [mm]C^{k+1} [/mm].
>
> a) Seien [mm]x , \xi \in \mathbb R^n [/mm], so dass die
> Verbindungsstrecke zwischen [mm]x[/mm] und [mm]x + \xi[/mm] in U liegt. Dann
> ist
>
> [mm]f( x + \xi ) = \summe_{ | \alpha | \le k } \bruch{ D^{\alpha} f(x) }{ \alpha! } \xi^{ \alpha} + (k + 1) \cdot \summe_{ | \alpha | = k + 1 } \integral_0^1 ( 1 - t)^k \bruch{ D^{ \alpha} f( x + t \xi ) }{ \alpha ! } \xi^{ \alpha} dt[/mm]
>
> b) Ist [mm]x \in U[/mm] und definiert man
> [mm]R ( \xi ) := f ( x + \xi ) - \summe_{ | \alpha | \le k+1 } \bruch{ D^{ \alpha } f(x) }{ \alpha ! } \xi ^\alpha \ \forall \ \xi \in \mathbb R^n[/mm]
> mit [mm]x + \xi \in U[/mm]
> so ist [mm]\limes_{ \xi \to 0 } \bruch{ R( \xi) }{ \| \xi \| ^{k+1} } = 0[/mm]
>
Bem: Meiner Meinung nach ist die hier gemachte Voraussetzung [mm] $f\in \mathcal{C}^{k+1}$ [/mm] für die zweite, qualitative Fassung b) des Satzes von Taylor unnötig stark: [mm] $f\in \mathcal{C}^k$ [/mm] genügt auch. Nur für die quantitativen Fassungen, wie hier a), die das Restglied [mm] $R(\xi)$ [/mm] mittels $k+1$-ter Ableitung quantitativ beschreiben (statt nur zu sagen, dass es [mm] $o(\parallel \xi\parallel^k)$ [/mm] für [mm] $\xi\rightarrow [/mm] 0$ ist), benötigen [mm] $f\in \mathcal{C}^{k+1}$.
[/mm]
Nachtrag (1. Revision): Ich nehme meine obige Bemerkung wieder zurück. In der Eile hatte ganz übersehen, dass die zur Formulierung von b) verwendete Taylorentwicklung im Unterschied derjenigen von zu a) sich bis zu Gliedern $k+1$-ten Grades erstreckt. So stimmt's natürlich wieder mit der qualitativen Version überein, die mir in meiner Bemerkung vorgeschwebt hatte.
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