Taylor-Reihe per Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Fr 21.08.2009 | | Autor: | Chuny |
| Aufgabe | Finden Sie die Taylor-Reihe der folgenden Funktionen jeweils um den angegebenen Punkt [mm] x_0:
[/mm]
(b) [mm]f(x) = (x+1)e^x, x_0=1[/mm] |
Hallo zusammen!
Ich habe diese Aufgabe über die Ableitungen gelöst und bin auf folgendes Resultat gekommen:
[mm]Tf(x;1)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{e(n+2)}{n!}(x-1)^n[/mm]
Ich glaube, dass sollte auch stimmen :)
Jetzt würde ich es aber lieber über die Potenzreihe lösen, nur leider komme ich bei einem Punkt nicht weiter. Hier mal meine einzelnen Schritte.
[mm]x_0=1
\Rightarrow f(x+1) = (x+2)e^{x+1}=e(x+2)e^x=e(x+2)\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!}=e(\summe _{n=0}^{\infty}(\bruch{x^{n+1}}{n!})+\summe_{n=0}^{\infty}(2\bruch{x^n}{n!})) = e\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^{n+1}+2x^n}{n!}=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{e(x+2)}{n!}x^n
[/mm]
Das sieht ja schon fast wie das Resultat aus  Nachher muss ich noch von f(x+1) nach f(x) kommen, das ist ja dann kein Problem, aber das x in der Klammer bei e(x+2) stört. Nach meiner ersten Lösung, müsste dort ein n stehen und dann hätte ich es ^^ Aber wie gelange ich dort hin?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
greeeeetz
Marco
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[mm]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{(n-1)!} \, , \ \ \ \sum_{n=0}^{\infty} 2 \frac{x^n}{n!} = 2 + \sum_{n=1}^{\infty} 2 \frac{x^n}{n!}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:42 Fr 21.08.2009 | | Autor: | Chuny |
Danke! Damit hat es geklappt^^
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