Taylor-Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:19 Fr 28.10.2011 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | a)Bestimmen Sie die Taylor-Reihe mit Entwicklungspunkt 0 der Funktion f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR: [/mm] f(x)= cos(x)
b) Bestimmen Sie die Taylor-Reihe mit Entwicklungspunkt 0 der Funktion f: ] -1, 1[ -> [mm] \IR [/mm] : f(x)= [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] |
Hallo,
wollte fragen, ob ihr mir sagen könnt, ob meine Überlegung richtig ist. Also ich würde jetzt einfach paar Ableitungen machen und für x 0 einsetzen (da ja steht im Entwicklungspunkt 0) und schauen was rauskommt und dann die Reihe bestimmen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß Laura
|
|
| |
|
Hallo Laura87 und erstmal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> a)Bestimmen Sie die Taylor-Reihe mit Entwicklungspunkt 0
> der Funktion f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR:[/mm] f(x)= cos(x)
>
>
> b) Bestimmen Sie die Taylor-Reihe mit Entwicklungspunkt 0
> der Funktion f: ] -1, 1[ -> [mm]\IR[/mm] : f(x)= [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm]
> Hallo,
>
>
> wollte fragen, ob ihr mir sagen könnt, ob meine
> Überlegung richtig ist. Also ich würde jetzt einfach paar
> Ableitungen machen und für x 0 einsetzen (da ja steht im
> Entwicklungspunkt 0) und schauen was rauskommt und dann die
> Reihe bestimmen.
Ja, das ist richtig, auch wenn du es sehr vereinfacht gesagt hast, aber du meinst es bestimmt richtig.
Du musst möglichst eine allg. Formel für [mm]f^{(k)}(0)[/mm] finden (und formal korrekt auch nachweisen - etwa per Induktion) und das dann gem. der Taylorformel [mm]T_0(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\cdot{}x^k[/mm] zusammenbasteln ...
Ein Hinweis zu b) noch:
Wenn du die geometrische Reihe schon kennst, so ist b) sehr schnell erledigt ...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Gruß Laura
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Fr 28.10.2011 | | Autor: | Laura87 |
Hallo schachuzipus,
danke für die schnelle Antwort, ist ja super hier 
Habe aber noch eine Frage zu deinem Hinweis:
>
> Ein Hinweis zu b) noch:
>
> Wenn du die geometrische Reihe schon kennst, so ist b) sehr
> schnell erledigt ...
>
Da ich im ersten Semester bin kannte ich die Reihe nicht, aber die wird ja in ANA 2 vorausgesetzt (mach gerade ANA 1 und 2) und deshalb habe ich im Skript einfach mal nachgeschauft.
Hier steht: Die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^n [/mm] konvergiert für alle |x|<1 mit dem Grenzwert [mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^n= \bruch{1}{1-x} [/mm]
meintest du das, denn das ist ja genau die Funktion? Aber sry das ich so blöd frage, wahrscheinlich ist es ziemlich banal, jedoch versteh ich den Zusammenhang zwischen konvergenz und Taylerreihe nicht :-S
Laura
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus,
>
>
> danke für die schnelle Antwort, ist ja super hier
>
>
> Habe aber noch eine Frage zu deinem Hinweis:
>
>
> >
> > Ein Hinweis zu b) noch:
> >
> > Wenn du die geometrische Reihe schon kennst, so ist b) sehr
> > schnell erledigt ...
> >
>
>
> Da ich im ersten Semester bin kannte ich die Reihe nicht,
> aber die wird ja in ANA 2 vorausgesetzt (mach gerade ANA 1
> und 2)
![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]")
> und deshalb habe ich im Skript einfach mal
> nachgeschauft.
>
> Hier steht: Die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^n[/mm] konvergiert
> für alle |x|<1 mit dem Grenzwert [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^n= \bruch{1}{1-x}[/mm]
Ganz recht, es ist also [mm] $T_0(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n$ [/mm] die Taylorreihe mit Entwicklungspunkt [mm] $x_0=0$ [/mm] der Funktion [mm] $f:(-1,1)\to\IR, x\mapsto \frac{1}{1-x}$
[/mm]
>
> meintest du das, denn das ist ja genau die Funktion?
Na, das vorgelegte f, die geometrisce Reihe ist ihre Taylorreihe um 0
Da du das nicht nutzen darfst, rechne es einfach mal zu Fuß nach, du weißt ja jetzt, welche Reihe als Taylorreihe herauskommen muss ...
> Aber
> sry das ich so blöd frage, wahrscheinlich ist es ziemlich
> banal, jedoch versteh ich den Zusammenhang zwischen
> konvergenz und Taylerreihe nicht :-S
Na, Reihen haben einen Konvergenzradius und nur innerhalb dieses Radius' können sie entsprechend eine Funktion darstellen.
>
>
> Laura
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Laura87 |
Hallo,
bei der b hab ich das jetzt mal ausgerechnet und habe folgendes raus:
[mm] f'(x)=\bruch{1}{(1-x)^2} [/mm] f'(0)=1
[mm] f''(x)=\bruch{-2}{(1-x)^3} [/mm] f''(0)=-2
[mm] f'''(x)=\bruch{6}{(1-x)^4} [/mm] f''(0)=6
[mm] f''''(x)=\bruch{-24}{(1-x)^5} [/mm] f''(0)=-24
also ich komme dann zwar auf die geometrische reihe, jedoch wechselt sich bei mir dann das vorzeichen also
[mm] 1+x-x^2+x^3-x^4....
[/mm]
was mach ich falsch?
|
|
|
| |
|
Hallo Laura,
> bei der b hab ich das jetzt mal ausgerechnet und habe
> folgendes raus:
>
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{(1-x)^2}[/mm] f'(0)=1
Die erste Ableitung stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]f''(x)=\bruch{-2}{(1-x)^3}[/mm] f''(0)=-2
Ab hier stimmts nicht mehr. Hast Du vielleicht die innere Ableitung (Kettenregel) vergessen?
> [mm]f'''(x)=\bruch{6}{(1-x)^4}[/mm] f''(0)=6
>
> [mm]f''''(x)=\bruch{-24}{(1-x)^5}[/mm] f''(0)=-24
>
> also ich komme dann zwar auf die geometrische reihe, jedoch
> wechselt sich bei mir dann das vorzeichen also
>
> [mm]1+x-x^2+x^3-x^4....[/mm]
Was macht das x hier? Das stimmt doch nicht.
> was mach ich falsch?
Siehe oben. Richtig ist, dass das Vorzeichen nicht wechselt.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Laura87 |
alsoo ich hab jetzt meinen Fehler gefunden. Die innere Ableitung hatte ich zwar gemacht, aber das - Zeichen beim Quotientenregel vergessen...
die k-te Ableitung würde dann lauten:
[mm] f^{(k)}=\bruch{(n)!}{(1-x)^{(n+1)}}
[/mm]
richtig?
Dies muss ich noch mit vollst. Induktion zeigen.
Also Induktion hab ich noch nicht gemacht, aber ich hab mir jetzt ein paar sachen angeschaut.
Als erstes zeig ich es für n=1
da kommt dann die erste Ableitung raus, also stimmts
dann muss es noch für alle n gelten, dh n-> n+1
[mm] \bruch{(n+1)!}{(1-x)^{(n+1)+1}}
[/mm]
das muss ich jetzt umformen, aber worauf soll das hinaus laufen? Also ich habe nicht ganz verstanden, was dann am Ende raus kommen soll.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Mi 02.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> alsoo ich hab jetzt meinen Fehler gefunden. Die innere
> Ableitung hatte ich zwar gemacht, aber das - Zeichen beim
> Quotientenregel vergessen...
>
> die k-te Ableitung würde dann lauten:
>
>
> [mm]f^{(k)}=\bruch{(n)!}{(1-x)^{(n+1)}}[/mm]
Ne ! so nicht ! Sondern:
[mm] $f^{(k)}= \bruch{(-1)^k*k!}{(1-x)^{k+1}}$
[/mm]
Edit: so auch nicht, sondern [mm] f^{(k)}= \bruch{k!}{(1-x)^{k+1}} [/mm] $, pardon
FRED
>
> richtig?
>
> Dies muss ich noch mit vollst. Induktion zeigen.
>
> Also Induktion hab ich noch nicht gemacht, aber ich hab mir
> jetzt ein paar sachen angeschaut.
>
> Als erstes zeig ich es für n=1
>
> da kommt dann die erste Ableitung raus, also stimmts
>
> dann muss es noch für alle n gelten, dh n-> n+1
>
>
> [mm]\bruch{(n+1)!}{(1-x)^{(n+1)+1}}[/mm]
>
> das muss ich jetzt umformen, aber worauf soll das hinaus
> laufen? Also ich habe nicht ganz verstanden, was dann am
> Ende raus kommen soll.
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Laura87 |
ehm das versteh ich jetzt nicht wieso [mm] (-1)^k [/mm] die haben doch alle ein positives vorzeichen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Mi 02.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> ehm das versteh ich jetzt nicht wieso [mm](-1)^k[/mm] die haben doch
> alle ein positives vorzeichen?
Kettenregel !! Was ist die Ableitung von 1-x ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Laura87 |
die Ableitung von 1-x ist -1 aber
wir haben doch:
[mm] \bruch{(0*(1-x)^2)-(2(1*x)*-1)}{(1-x)^4}=\bruch{-(-2(1-x))}{(1-x)^4}=\bruch{2}{(1-x)^3}
[/mm]
da ist ja noch das - vom Quotientenregel also -*-=+ oder meint ihr was anderes?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Mi 02.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> die Ableitung von 1-x ist -1 aber
>
> wir haben doch:
>
> [mm]\bruch{(0*(1-x)^2)-(2(1*x)*-1)}{(1-x)^4}=\bruch{-(-2(1-x))}{(1-x)^4}=\bruch{2}{(1-x)^3}[/mm]
>
> da ist ja noch das - vom Quotientenregel also -*-=+ oder
> meint ihr was anderes?
Pardon, ich hab Mist gebaut. Es muß lauten:
$ [mm] f^{(k)}= \bruch{k!}{(1-x)^{k+1}} [/mm] $
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Laura87 |
ok dann wieder zurück zu Induktion
Als erstes zeig ich es für k=1
da kommt dann die erste Ableitung raus, also stimmts
dann muss es noch für alle k gelten, dh k-> k+1
$ [mm] \bruch{(k+1)!}{(1-x)^{(k+1)+1}} [/mm] $
das muss ich jetzt umformen, aber worauf soll das hinaus laufen? Also ich habe nicht ganz verstanden, was dann am Ende raus kommen soll.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Mi 02.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Wir setzen voraus: für ein k [mm] \in \IN [/mm] gilt:
$ [mm] f^{(k)}(x)= \bruch{k!}{(1-x)^{k+1}} [/mm] $
Zu zeigen: $ [mm] f^{(k+1)}(x)= \bruch{(k+1)!}{(1-x)^{k+2}} [/mm] $
Leite also [mm] \bruch{k!}{(1-x)^{k+1}} [/mm] einmal ab. Wenn [mm] \bruch{(k+1)!}{(1-x)^{k+2}} [/mm] rauskommt, ist alles palletti
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Mi 02.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo Laura
ausnahmsweise hat fred mal nicht recht, sondern du°
aber: wenn du nen bruch ableitest, der nur ne Zahk im nenner hat ist die Quotientenregel zwar nicht falsch, aber viel zu umständlich!
also leite lieber [mm] (1-x)^{-k} [/mm] ab!
Das gilt auch für den Induktionsschrit.
du hast die Foemel [mm] f^{(k)}=k!*(1-x)^{-(k+1)}
[/mm]
richtig für k=1
Induktionsannahme richtig für k dann zu zeigen daraus folgt sie für k+1
also zu zeigen, dass
daraus folgt [mm] f^{(k+1)}=(f^{(k)})'=(k!*(1-x)^{-(k+1)})'=-(k+1)*(1-x)^{-(k+1)-1}*(-1)=(k+1)!*(1-x)^{-(k+2)}
[/mm]
was zu beweisen war.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:25 Mi 02.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Laura
> ausnahmsweise hat fred mal nicht recht,
Hallo leduart,
ja, da hab ich ins Klo gegriffen, schäm... Habs aber editiert.
Gruß FRED
> sondern du°
> aber: wenn du nen bruch ableitest, der nur ne Zahk im
> nenner hat ist die Quotientenregel zwar nicht falsch, aber
> viel zu umständlich!
> also leite lieber [mm](1-x)^{-k}[/mm] ab!
> Das gilt auch für den Induktionsschrit.
> du hast die Foemel [mm]f^{(k)}=k!*(1-x)^{-(k+1)}[/mm]
> richtig für k=1
> Induktionsannahme richtig für k dann zu zeigen daraus
> folgt sie für k+1
> also zu zeigen, dass
> daraus folgt
> [mm]f^{(k+1)}=(f^{(k)})'=(k!*(1-x)^{-(k+1)})'=-(k+1)*(1-x)^{-(k+1)-1}*(-1)=(k+1)!*(1-x)^{-(k+2)}[/mm]
> was zu beweisen war.
> Gruss leduart
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Laura87 |
Hallo nochmal,
also zu a) habe ich folgendes:
[mm] cos(0)-sin(0)x-\bruch{cos(0)}{2!}x^2+\bruch{sin(0)}{3!}x^3+\bruch{cos(0)}{4!}x^4+.......=1-\bruch{1}{2!}x^2+\bruch{1}{4!}x^4+....
[/mm]
jetzt bin ich mir etwas unsicher aber, ich habe es als Reihe folgendermaßen zusammen gefasst:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n*\bruch{x^{2n}}{(2n)!}
[/mm]
ist das richtig und soll ich das nun mit Induktion nachweisen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 Mi 02.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal,
>
> also zu a) habe ich folgendes:
>
> [mm]cos(0)-sin(0)x-\bruch{cos(0)}{2!}x^2+\bruch{sin(0)}{3!}x^3+\bruch{cos(0)}{4!}x^4+.......=1-\bruch{1}{2!}x^2+\bruch{1}{4!}x^4+....[/mm]
>
> jetzt bin ich mir etwas unsicher aber, ich habe es als
> Reihe folgendermaßen zusammen gefasst:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n*\bruch{x^{2n}}{(2n)!}[/mm]
>
> ist das richtig
Ja
> und soll ich das nun mit Induktion
besser wärs
FRED
> nachweisen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Laura87 |
sry das ich nochmal nachfrage, aber gerade etwas verunsichert. Ich habe mir gerade ein paar beispiele angeschaut und gesehen, dass man die k-te Ableitung durch Induktion beweisen muss. (Dachte davor die Reihe, die man am Ende hat). Das Problem ist, indiesem Fall wäre ja die k-te Ableitung [mm] \pm [/mm] sin oder [mm] \pm [/mm] cos. Wie kann ich das den allgemein schreiben? :-S
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Mi 02.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Für f(x):= cos(x) gilt
[mm] f^{(2n-1)}(x)=(-1)^n*sin(x) [/mm] und [mm] f^{(2n)}(x)=(-1)^n*cos(x) [/mm] für jedes n [mm] \in \IN.
[/mm]
Das kannst Du induktiv beweisen.
FRED
|
|
|
|
