Taylor-Polynom < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:50 Mo 08.12.2008 | | Autor: | dicentra |
| Aufgabe | Man bestimme das Taylor-Polynom zu [mm]f(x)=\sin x[/mm] an der Stelle [mm]x_0=0[/mm] zum Grade 3!
Wie groß ist der Fehler maximal nach Restglied-Formel, wenn Sie [mm]f(x)[/mm] für [mm]x\in[-0.3,0.3][/mm] durch dieses Polynom [mm]P_3(x)[/mm] annähern?
Machen Sie die Probe: Stimmt die Abschätzung für [mm]x=0.25[/mm] und [mm]x=0.3[/mm]? |
was ich habe ist das polynom 3. ordnung:
[mm]P_3(x) = x - \bruch{1}{6}x^3[/mm]
so. nun soll ich den fehler mit der restgliedformel bestimmen.
die is mir zwar bekannt, doch weiß ich nicht recht weiter.
ich habe ja das intervall [mm]x\in[-0.3,0.3][/mm] und da [mm]x_0=0[/mm] ist, muss ich für die restglied formel irgendeinen wert aus dem intervall [mm](0,0.3][/mm] wählen, da [mm]x_0
oder nehme ich den wert 0.3 wegen dem maximal?
außerdem brauche ich ja die 4. ableitung, die da wäre: [mm]\sin x[/mm].
was ich auch nicht so recht verstehe ist, wie ich auf das C komme.
freue mich auf tipps.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:09 Mo 08.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Formel gilt auch für [mm] x
für die Fehlerabschätzung nimmst du den höchsten Wert des Restgliedes in dem Intervall.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:04 Mo 08.12.2008 | | Autor: | dicentra |
[mm]R_3(x)=\bruch{C}{4!}*(0.3-0)^4[/mm] ?
dann fehlt noch C.
wobei C eine obere schranke von [mm] |f^4 [/mm] (z)| im Intervall [mm] [x_0,x] [/mm] ist.
wobei C eine obere schranke von |sin (x)| im Intervall [0,0.3] ist.
is C dann auch 0.3?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Mo 08.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du schreibst doch selbst, dass man ne obere Schranke von [mm] f^{(4)} [/mm] nehmen sioll. waayrum dann nicht sin(0.3) sondern einfach 0.3? Der Unterschied ist zwar nicht gross, aber immerhin vorhanden.
2. Ich weiss nicht, ob das hier so gemeint ist. aber das 3.te Taylorpolynom ist hier ja, weil [mm] f^{(4)}(0)=0 [/mm] gleichzeitig auch das vierte. so dass man [mm] R_4 [/mm] berechnen kann!
Im Text steht ja wohl, du sollst [mm] R_3 [/mm] abschätzen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Mo 08.12.2008 | | Autor: | dicentra |
[mm]R_3(x)=\bruch{sin(0.3)}{4!}\cdot{}(0.3-0)^4=9.97380697 × 10^{-5}[/mm]
was sagt mir das ergebnis denn überhaupt?
probe:
[mm]P_3(0,3)-sin(0,3)=0,2955-0,295520207=-2,02066613 × 10^{-5}[/mm]
is die probe nun richtig oder falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Dath |
in "Höhere Mathematik für Naturwissneschaftl. und Ingenieure" ist die Sinusfunktion auch als Potenzreihe gegeben, da ist ein ähnliches Problem beschrieben. Hier verwendet man die 5-te Ableitung.
Ich schau mal nach, ob ich das finde, und schreibe dann noch mal etwas dazu.
Viele Grüße,
Dath
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:58 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Dath |
Also:
Es gilt:
[mm]sin(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}[/mm]
Oder:
[mm]sin(x)=\summe_{l=0}^{n}\bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}[/mm]
Und wenn man es nur bis 3 machen soll, dann folgt für das restglied:
[mm]R_{3}=\bruch{f^{(2(n+1)+1=5)}(\varepsilonx}{5!}(x)^{5}[/mm]
Und es gilt:
[mm]R_{n}(x)=f(x)-T_{n}(x)[/mm]
Das sollte eigentlich reicehn für die Beantwortung der Frage.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Mo 08.12.2008 | | Autor: | dicentra |
ehrlich gesagt verwirrt mich das noch mehr.
und ich habe ja irgendwas raus, und deshalb weiß ich im moment nicht wie mir das bei meinen letzten fragen helfen soll.
schönen gruß,
dic
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:43 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Dath |
Also:
Ich persönlich verstehe nicht ganz, warum du die 4-te Ableitung verwendet hast. In dem Buch, welches ich benutze, steht drinnnen, und es ist auch logisch, dass man die 5-te Ableitung verwenden muss.
Korrigiere mich bitte, wenn es falsch ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 Mo 08.12.2008 | | Autor: | dicentra |
man soll das polynom 3.grades bestimmen.
nach restgliedformel brauch man meines erachtens die n+1-te ableitung für das C. das hatte ich glaube ich oben geschrieben.
EDIT
ach ne. hat ich nicht. in meinem skript steht:
"worin C eine obere Schranke von [mm] |f^{(n+1)}(z)| [/mm] im Intervall [mm] [x_0,x] [/mm] ist."
und dadurch die vierte ableitung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:32 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Dath |
Soweit es in dem Buch steht, und soweit es auch aus der Definition der Darstellung für sin(x) als Potenzreihe folgt, bin ich der Auffassung, dass man die 5-te verwenden muss, weil du statt n einfach n+1 einsetzt. Etwas anderes macht ja auch nach der Definition keinen Sinn. (s. erwähntes Buch).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Mo 08.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Schaut man sich den Satz von Taylor an, so gilt mit n = 3 und
$ [mm] P_3(x) [/mm] = x - [mm] \bruch{1}{6}x^3 [/mm] $ :
es ex. ein t zwische o und x mit:
sinx - [mm] P_3(x) [/mm] = [mm] \bruch{f^{(4)}(t)}{4!}x^4 [/mm] = [mm] \bruch{-cos(t)}{4!}x^4
[/mm]
Edit: da muß natürlich sin statt -cos stehen
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:28 Mo 08.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
vierte Ableitung von sinx ist sinx nicht cos x.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 Mo 08.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Hallo Leduart,
Du hast natürlich Recht
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Mo 08.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da das ein Fehler ist, sollte man nicht soviele Stellen hinschreiben, denn es ist ja nur ne Abscätzung! also hast du für den geschätzten Fehler richtig, er ist höchstens [mm] \pm10^{-4}
[/mm]
der "ausgerechnete Fehler" sollte höchstens so gross sein , er ist [mm] 2*10^{-5} [/mm] also 1/5 des geschätzten Fehlers. Damit ist die Fehlerabschätzung nicht falsch, aber ziemlich daneben.
D.h. Deine Rechnung ist richtig. aber hoffentlich erstaunt dich der Unterschied!
Grund, die 3.te Taylor pol und das 4. te TaylorPol stimmen überein! d.h. man hätte auch [mm] R_5 [/mm] berechnen können,
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:16 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Dath |
D.h., dass meins auch richtig wäre.
Mal was anderes, wenn ich jetzt sin(x) mit der McLaurin des Taylorpolynoms darstellen, will, könnte ich auch die 2n+2-te Ableitung verwenden, oder muss ich hier speziell die 2n+3-te verwenden, für das Restglied versteht sich?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Di 09.12.2008 | | Autor: | dicentra |
> Hallo
> Da das ein Fehler ist, sollte man nicht soviele Stellen
> hinschreiben, denn es ist ja nur ne Abscätzung!
okay
> also hast
> du für den geschätzten Fehler richtig, er ist höchstens
> [mm]\pm10^{-4}[/mm]
> der "ausgerechnete Fehler" sollte höchstens so gross sein
> , er ist [mm]2*10^{-5}[/mm] also 1/5 des geschätzten Fehlers.
das ist mir noch unverständlich., wo kommen denn die [mm] 10^{-4} [/mm] her?
und wieso [mm] \bruch{1}{5}?
[/mm]
ist [mm] 2*10^{-5} [/mm] nicht 0,00002?
wäre schön, wenn du mir das nochmal in anderen worten sagen könntest.
> Damit
> ist die Fehlerabschätzung nicht falsch, aber ziemlich
> daneben.
> D.h. Deine Rechnung ist richtig. aber hoffentlich erstaunt
> dich der Unterschied!
> Grund, die 3.te Taylor pol und das 4. te TaylorPol stimmen
> überein! d.h. man hätte auch [mm]R_5[/mm] berechnen können,
> Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:57 Do 11.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo dicentra!
> das ist mir noch unverständlich., wo kommen denn die
> [mm]10^{-4}[/mm] her?
leduart hat Dein oben ermitteltes Ergebnis gerundet (Deine Angabe mit x Nachkommastellen ist nicht sinnvoll, da es sich ja lediglich um eine Schätzung handelt):
[mm] $$9.97...*10^{-5} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ [mm] 10*10^{-5} [/mm] \ = \ [mm] 10^{-4}$$
[/mm]
> und wieso [mm]\bruch{1}{5}?[/mm]
Weil: [mm] $\bruch{2*10^{-5}}{10^{-4}} [/mm] \ = \ [mm] 2*10^{-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{10} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{5}$
[/mm]
> ist [mm]2*10^{-5}[/mm] nicht 0,00002?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das stimmt.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
