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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:37 Di 19.04.2005 | | Autor: | mucc |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe eine oder mehrere Fragen zu folgender Aufgabe:
Sei U offen im [mm] \IR^n, [/mm] f: U [mm] \to \IR [/mm] stetig differenzierbar. Dann ist der Graph [mm] \Gamma [/mm] (f)= [mm] \left\{ \begin{pmatrix} x \\ f(x) \end{pmatrix} | x \in U \right\} [/mm] eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^n^+^1. [/mm] Berechne für jeden Punkt p [mm] \in \Gamma [/mm] (f) eine Basis von [mm] T_p\Gamma(f).
[/mm]
Ich definiere mir nun F:= [mm] (f_1,...,f_n,f_n_+_1)
[/mm]
Wobei [mm] f_i [/mm] := id für [mm] 1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] n und [mm] f_n_+_1 [/mm] := f(p).
Wenn ich die Theorie richtig verstanden habe, muß ich die Menge der Vektoren im [mm] \IR^n [/mm] finden, die senkrecht auf allen Gradienten von [mm] f_i [/mm] stehen.
Die Gradienten sind also:
[mm] \begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \partial_i f(p)
\end{pmatrix}
[/mm]
wobei die 1 immer in i-ter Zeile steht und die i-te partielle Ableitung von f(p) am Schluß.
Ich erhalte also n Vektoren mit einer 1 an der i-ten Stelle und sonst Nullen bis auf die n-te Zeile. Bilden diese Vektor schon die Basis??
Demnach wäre die Funktionalmatrix von F die gesuchte Basis???
und wozu brauche ich dann noch die Menge der Vektoren, die senkrecht auf den Gradienten stehen? Und wenn ich diese brauche, wie finde ich sie?
Vielen Dank für alles...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:47 Di 19.04.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber mucc
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe eine oder mehrere Fragen zu folgender Aufgabe:
> Sei U offen im [mm]\IR^n,[/mm] f: U [mm]\to \IR[/mm] stetig
> differenzierbar. Dann ist der Graph [mm]\Gamma[/mm] (f)= [mm]\left\{ \begin{pmatrix} x \\ f(x) \end{pmatrix} | x \in U \right\}[/mm]
> eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit des [mm]\IR^n^+^1.[/mm]
> Berechne für jeden Punkt p [mm]\in \Gamma[/mm] (f) eine Basis von
> [mm]T_p\Gamma(f).[/mm]
>
> Ich definiere mir nun F:= [mm](f_1,...,f_n,f_n_+_1)[/mm]
> Wobei [mm]f_i[/mm] := id für [mm]1\le[/mm] i [mm]\le[/mm] n und [mm]f_n_+_1[/mm] := f(p).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn ich die Theorie richtig verstanden habe, muß ich die
> Menge der Vektoren im [mm]\IR^n[/mm] finden, die senkrecht auf allen
> Gradienten von [mm]f_i[/mm] stehen.
> Die Gradienten sind also:
> [mm]\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \partial_i f(p)
\end{pmatrix}[/mm]
>
> wobei die 1 immer in i-ter Zeile steht und die i-te
> partielle Ableitung von f(p) am Schluß.
> Ich erhalte also n Vektoren mit einer 1 an der i-ten
> Stelle und sonst Nullen bis auf die n-te Zeile. Bilden
> diese Vektor schon die Basis??
Ja! Jeder einzelne dieser Vektoren liegt tangential zur "Fläche", wenn man ihn dort "anheftet". Diese Vektoren sind offenkundig linear unabhängig (die Einsen verraten das), bilden also sicher eine Basis eines n-dimensionalen Unterraums.
> Demnach wäre die Funktionalmatrix von F die gesuchte
> Basis???
Diese Aussage verstehe ich nicht ganz! Ich würde eher sagen: Die Menge deiner oben beschriebenen Vektoren (es sind n Stück) bilden eine Basis des Tangentialraumes.
> und wozu brauche ich dann noch die Menge der Vektoren, die
> senkrecht auf den Gradienten stehen? Und wenn ich diese
> brauche, wie finde ich sie?
Ich glaube, da verwechselst du irgend etwas! Der Gradient steht ja senkrecht zu einer Niveaulinie. Und wenn du dazu senkrechte Vektoren findest, liegen diese in einer Tangentialebene einer Niveaulinie. Ist nicht genau das, was in deiner Aufgabe dargestellt wird.
Als Beispiel zur Illustration:
Die einfache Funktion
[mm] $f(x,y)=x^2+y^2$
[/mm]
Eine Niveaulinie findest du durch Auflösen der Gleichung $f(x,y)=c$
In unserem Falle also ein Kreis in der x-y-Ebene. Der Gradient steht senkrecht auf diesen Kreis. Der ist aber nicht die beschriebene Untermannigfaltigkeit deiner Aufgabe! Die wäre nämlich die Oberfläche eines Paraboloids. 
Oder etwas anders gesagt: Das Paraboloid kann aufgefasst werden als Niveaufläche der Funktion [mm] g(x,y,z)=x^2+y^2-z
[/mm]
Der Gradient hiervon ist
[mm] $\vektor{2x \\ 2y \\ -1}$
[/mm]
Deine oben gefundenen Vektoren wären wohl diese:
[mm] $\vektor{1 \\ 0 \\ 2x}$ [/mm] und [mm] $\vektor{0 \\ 1 \\ 2y}$
[/mm]
Berechne jetzt doch das Skalarprodukt irgend eines dieser Vektorren mit unserem Gardienten, ich nehme mal als Beispiel den ersten:
[mm] $\vektor{1 \\ 0 \\ 2x}*\vektor{2x \\ 2y \\ -1}=2x+0-2x=0$
[/mm]
Siehst du, alle deine gefundenen Vektoren haben mit dem Gradienten das Skalarprodukt null, stehen also senkrecht dazu!
Du hast diese Vektoren also bereits gefunden!
Jetzt klarer?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 Di 19.04.2005 | | Autor: | mucc |
vielen dank für die Antwort. Zwei Sachen sind mir noch unklar:
1) Der Grund, warum ich noch auf der Suche nach Vektoren war, die senkrecht auf die Gradienten stehen ist folgender Satz:
Sei U offenen Umgebung von a und seien [mm] f_1 [/mm] ... [mm] f_n_-_k [/mm] nach R stetig diffbare Funktionen mit M [mm] \cap [/mm] U = [mm] \{x \in U: f_1=....= f_n_-_k(x)=0\}
[/mm]
Dann gilt:
[mm] T_{a}M= \{v \in R^n: =0 für j=1,....,n-k\}
[/mm]
Ich verstehe meine eigene Rechnung so, daß ich den rechten Teil des Skalars, nämlich die Gradienten [mm] f_i [/mm] gefunden habe. In der zweiten Antwort heißt es: der Gradient von $ [mm] g(x,y,z)=x^2+y^2-z [/mm] $ ist:
[mm] \vektor{2x \\ 2y \\ -1} [/mm]
soweit verstehe ich. Dieser Gradient ist aber doch analog zu den Vektoren, die ich gefunden habe, nämlich den
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \partial_i f(p) \end{pmatrix}
[/mm]
Mir fehlen also doch immer noch Vektoren, die darauf senkrecht stehen?
2) In der Aufgabenstellung heißt es, daß der Graph eine Untermannigfaltigkeit ist. An welcher Stelle meiner Lösung geht das denn überhaupt ein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Fr 22.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Also, du musst folgendes machen:
Definiere
[mm] $f_1(x_1,\ldots,x_n,x_{n+1}) [/mm] := [mm] x_{n+1}-f(x_1,\ldots,x_n)$.
[/mm]
Dann ist deine Untermannigfaltigkeit die Nullstellenmenge von [mm] $f_1$.
[/mm]
Nun bestimmt du (ich schreibe es als Zeilenvektor)
[mm] $grad_p(f_1) [/mm] = [mm] \pmat{ -\frac{\partial f}{\partial x_1}(p),& - \frac{\partial f}{\partial x_2}(p), & \ldots, & - \frac{\partial f}{\partial x_n}(p), & 1}$,
[/mm]
und eine Basis auf dessen orthogonalem Komplement wird genau durch die (Tangential-)Vektoren gegeben, die ihr schon genannt habt.
Ist der Bezug zwischen Anschauung und Theorie jetzt klar?
Liebe Grüße
Stefan
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