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Tangentialraum: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:56 Do 26.04.2012
Autor: Ana-Lena

Aufgabe
Tangetialraum an $G$ im Punkt $a$ bestimmen

(i) $G = [mm] \{ (x,y,z) \in \IR^3 : x^2+y^2+z^2 = 1\} [/mm] , a = (2/7, 3/7, 6/7) $

(ii) $G = [mm] \{ (x,y,z) \in \IR^3 : x^2+y^2 = z^2, xy= z + 1\} [/mm] , a = (x, y, z) $

Hallo!

Ich dachte anfangs die Aufgabe ist einfach, aber sie will nicht so recht...

[mm] T_a [/mm] M = [mm] Bild(\J \phi(c)) [/mm] = [mm] ker(\J [/mm] f(a)) = [mm] <\nabla f_1(p), [/mm] ..., [mm] \nabla f_n(p) [/mm] >

Und ich dachte

f(x,y) = [mm] (x,y,\sqrt(1-x^2-y^2)) [/mm]

aber das haut so nicht hin. Wie mache ich denn weiter?


Liebe Grüße,
Ana-Lena

        
Bezug
Tangentialraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:54 Fr 27.04.2012
Autor: rainerS

Hallo Ana-Lena!

> Tangetialraum an [mm]G[/mm] im Punkt [mm]a[/mm] bestimmen
>  
> (i) [mm]G = \{ (x,y,z) \in \IR^3 : x^2+y^2+z^2 = 1\} , a = (2/7, 3/7, 6/7)[/mm]
>  
> (ii) [mm]G = \{ (x,y,z) \in \IR^3 : x^2+y^2 = z^2, xy= z + 1\} , a = (x, y, z)[/mm]
>  
> Hallo!
>  
> Ich dachte anfangs die Aufgabe ist einfach, aber sie will
> nicht so recht...
>  
> [mm]T_a M = Bild(\mathcal{J} \phi(c)) = \ker(\mathcal{J} f(a)) = <\nabla f_1(p),\dots,\nabla f_n(p) >[/mm]

Ich nehme an [mm] $\mathcal{J}$ [/mm] soll die Jacobimatrix sein.  Aber [mm] $<\nabla f_1(p),\dots,\nabla f_n(p) [/mm] >$ verstehe ich nicht. Du hast doch nur eine Funktion f. Oder meinst du die n Komponenten von [mm] $\nabla [/mm] f$ ?

Der Tangentialraum ist das orthogonale Komplement des vom Vektor [mm] $\nabla [/mm] f$ aufgepannten Unterraums, an der Stelle a. Besser wäre es zu schreiben

  [mm] T_a M = \{x\in \IR^n\mid (x-a)*\nabla f(a) = 0 \} [/mm] .

> Und ich dachte
>
> [mm]f(x,y) = (x,y,\sqrt{1-x^2-y^2})[/mm]

Für die obere Halbkugel stimmt das. Für die untere musst du das andere Vorzeichen für die Wurzel wählen.

> aber das haut so nicht hin. Wie mache ich denn weiter?

Schreib doch mal auf, was du hast.

  Viele Grüße
    Rainer

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