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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:33 Di 03.02.2009 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Ich habe ein Problem mit dem Begriff des polaren Kegels ...
Nach der Definition ist zu einer Menge [mm] C \subset \mathbb R^n [/mm] der polare Kegel als [mm] C^p := \{ x \in \mathbb R^n \ | \ x^T z \le 0 \ \forall z \in C \} [/mm] definiert. Falls C ein konvexer Kegel ist, nennt man
[mm] C^D := - C^p [/mm] den dualen Kegel.
Wenn ich das Beispiel betrachte:
[mm] C := \{ x \in \mathbb R^2 \ | \ \| x - {1 \choose 0} \|_2 = 1 \} [/mm]
[mm] C^p = \{ x \in \mathbb R^2 \ | \ x_1 \le 0, x_2 = 0 \} [/mm]
Graphisch ist die Menge C eine Kreis mit Mittelpunkt [mm] {1 \choose 0 } [/mm] und Radius 1. Der polare Kegel ist die negative x - Achse .
Der Tangentialkegel ist wohl die y Achse, aber warum???
Wenn wir das nun im Zusammenhang mit dem Tangentialkegel betrachten, dann habe ich leider richtige Verständnisproblem.
Wie kann ich mir den folgende Sachverhalt vorstellen:
Wenn die Memge C konvex ist und [mm] \overline{x} \in C [/mm], so ist
[mm] T(C, \overline{x}) = \overline{ \mathbb R_+ ( C - \overline{x}} = \overline{ \{ t ( x - \overline{x} ) \| \ x \in C \} } [/mm]
[mm]( T( C; \overline{x} ) )^p = \{ s \ | \ s^T (x - \overline{x} ) \le 0 \ \forall x \in C \} [/mm] ist der Normale Kegel von C.
Der Tangentialkegel ist ja grob gesprochen die Menge der Richtungen, mit denen Man sich [mm] \overline{x} [/mm] nähren kann.
Aber wie stellt man sich [mm] ( T( C; \overline{x} ) )^p [/mm] vor?
Und zum Schluss kommt dann der folgende Satz, der besagt, dass wenn f konvex und differentierbar ist und C konvex ein Punkt [mm] \overline{x} \in C [/mm] genau dann ein Minimum ist auf C, wenn
[mm] \nabla f( \overline{x} ) \in - ( T( C; \overline{x} ) )^p [/mm].
Warum?
Ich hoffe sehr,dass mir jemand ein wenig der Sachverhalt erklären kann!
Viele herzlichen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 11.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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