Tangentialebenen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
Ich bin mir bei einer Aufgabe (genauer gesagt der Lösung) nicht ganz sicher, ob ich den richtigen Weg gewählt habe.
"Gegeben ist folgende Fläche:
[mm] z = f(x,y) = \bruch{1}{xy} (xy \not= 0)[/mm]
Man bestimme diejenige Tangentialebene an die Fläche [mm] z = f(x,y)[/mm] welche parallel zur Ebene [mm]x + y + z = 8[/mm] ist."
Wenn die Tangentialebene parallel zur gegebenen Ebene verlaufen soll, dann müssen die Normalenvektoren der Ebene und der Tangentialebene linear abhängig sein.
Der Normalenvektor der Ebene ist:
[mm] n_E = \vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
Für den Normalenvektor der Tangentialebene gilt (?):
[mm] n_{E_T} = \vektor{f_x (x_0, y_0) \\ f_y (x_0, y_0) \\ -1}[/mm]
Daraus schließe ich, dass die beiden Normalenvektoren über den Faktor (-1) zusammen hängen und folgere weiterhin, dass
[mm] f_x(x_0,y_0) = -1[/mm] &
[mm] f_y(x_0,y_0) = -1[/mm],
und da
[mm] f_x(x,y) = -\bruch{1}{x^2y}[/mm] &
[mm] f_y(x,y) = -\bruch{1}{xy^2}[/mm]
[mm] \Rightarrow x_0 = 1, y_0 = 1[/mm].
Der Aufpunktvektor der Tangentialebene müsste sich dann so ergeben:
[mm] p_{E_T}= \vektor{x_0 \\ y_0 \\ f(x_0,y_0)}[/mm].
Daher lautet die Ebenengleichung der Tangentialebene:
[mm] E_T = x*\vektor{-1 \\ -1 \\ -1} = -3[/mm].
Stimmt das so?
Danke für eure Mühen...
|
|
| |
|
Hallo,
danke für die schnelle Antwort. Genau die "Herleitung" der Tangentialebene fehlte mir. Ich hatte nur die Formel und war mir nicht ganz sicher...
MFG Ben
|
|
|
|
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
