Tangentialebene an der Kugel < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme die Gleichung der Tangetialebene an die Kugel k im Kugelpunkt B:
k: [mm] (x_{1}+2)^2+(x_{2}+5)^2+(x_{3}+7)^2=9, [/mm] B(b1/-3/-5) mit b1 < -2. |
Hat jemand eine Ahnung, wie man die Variable b1 rausbekommt um die Gleichung zu bestimmen??
Die Lösung muss wie folgt lauten:
[mm] x_{1}-2x_{2}-2x_{3}=13 [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Do 24.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Bestimme die Ebene mal in der Normalenform.
[mm] E:\vec{n}*\vec{x}=d
[/mm]
als Normalenvektor kannst du den Vektor [mm] \overrightarrow{M_{k}B} [/mm] nehmen, der steht ja senkrecht auf der Ebene.
Also: [mm] \vec{n}=\overrightarrow{M_{k}B}=\vektor{b-2\\-8\\-12}
[/mm]
Bleibt mit dem Punkt B das d zu berechnen.
Also:
[mm] d=\overrightarrow{M_{k}B}*\vec{b}
[/mm]
[mm] =\vektor{b-2\\-8\\-12}*\vektor{b\\-3\\-5}
[/mm]
=b(b-2)+24+60
=b²-2b+84
Somit hast du deine Ebene
[mm] E:\vektor{b-2\\-8\\-12}*\vektor{x\\y\\z}=b²-2b+84
[/mm]
In Koordinatenform:
(b-2)x-8y-12z=b²-2b+84
Schneidest du die Ebene jetzt mit den Kreis, kannst du den genauen Berührpunkt ermitteln. Es soll ja genau einen Schnittpunkt geben.
Ach ja: Die Ergebnisse meiner Rechnung solltest du noch kontrollieren.
Marius
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