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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Sa 05.05.2007 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] f_{x,y,z}=x^2+y^2+z^2
[/mm]
Berechnen sie das zugehörende Gradientenfeld Vf (Anm.: ich nenn das Gradientenfeld V, weil ich das richtige Zeichen nicht finden kann)und bestädigen Sie, dass die Gradienten senkrecht zu den Höhenlinien verlaufen. |
Hi,
bräuchte wiedermal Hilfe. Ich hab das Gradientenfeld soweit berechnet. Ergebnis: [mm] Vf=\vektor{2x \\ 2y \\ 2z} [/mm] bzw [mm] =2*\vektor{x \\ y \\z}. [/mm] Ich weiss das die obige Gleichung eine Kugel darstellt, demzufolge stehen die Gradienten senkrecht auf den Höhenlinien.
Wollte das jetzt rechnerisch nachprüfen indem ich eine Tagentialebene an die Kugel lege, den Normalenvektor der Ebene Berechne und dann überprüfe ob der Normalenvektor parallel zu [mm] Vf=\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] verläuft. Das tut er aber in meinem Fall nicht. Hab den Normalenvektor mit dieser Formel berechnet: [mm] z-z_{0}=f_x({x_{0};y_{0}})*x-x_{0}+f_{y}(x_{0};y_{0})*y-y_{0}.
[/mm]
Was hab ich da falsch gemacht? Danke Für eure Hilfe!!!
mfg
Stefan
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Hi stefan,
> Gegeben sei die Funktion [mm]f_{x,y,z}=x^2+y^2+z^2[/mm]
> Berechnen sie das zugehörende Gradientenfeld Vf (Anm.: ich
> nenn das Gradientenfeld V, weil ich das richtige Zeichen
> nicht finden kann)und bestädigen Sie, dass die Gradienten
> senkrecht zu den Höhenlinien verlaufen.
> Hi,
> bräuchte wiedermal Hilfe. Ich hab das Gradientenfeld soweit
> berechnet. Ergebnis: [mm]Vf=\vektor{2x \\ 2y \\ 2z}[/mm] bzw
> [mm]=2*\vektor{x \\ y \\z}.[/mm] Ich weiss das die obige Gleichung
> eine Kugel darstellt, demzufolge stehen die Gradienten
> senkrecht auf den Höhenlinien.
>
hier solltest du praezise bleiben: was heisst 'darstellt'? genau, die hoehenlinien bzw. -flaechen (auch: isoflaechen) von $f$ sind kugeln.
> Wollte das jetzt rechnerisch nachprüfen indem ich eine
> Tagentialebene an die Kugel lege, den Normalenvektor der
> Ebene Berechne und dann überprüfe ob der Normalenvektor
> parallel zu [mm]Vf=\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] verläuft.
richtiges procedere...
> Das tut er
> aber in meinem Fall nicht. Hab den Normalenvektor mit
> dieser Formel berechnet:
> [mm]z-z_{0}=f_x({x_{0};y_{0}})*x-x_{0}+f_{y}(x_{0};y_{0})*y-y_{0}.[/mm]
ich glaube, der fehler liegt in deiner ungenauigkeit. Mit deiner formel kannst du tangentialebenen an GRAPHEN berechnen, aber nicht an isoflaechen.
>
> Was hab ich da falsch gemacht? Danke Für eure Hilfe!!!
du koenntest zb. recht leicht die obere hemisphaere als funktionsgraph darstellen durch [mm] $f(x,y)=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$. [/mm] Damit sollte dann auch deine formel funktionieren...
VG
Matthias
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> mfg
> Stefan
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