Tangentialbündel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Do 25.10.2012 | | Autor: | Pia90 |
| Aufgabe | geg. M [mm] \subset \IR^n [/mm] k-dim. Untermannigfaltigkeit und Tangentialbündel TM={(x,y) [mm] \in \IR^n \times \IR^n; [/mm] x [mm] \in [/mm] M, x [mm] \in T_x [/mm] M} = [mm] \bigcup_{x \in M} \times T_x [/mm] M
z.z.: TM ist eine 2k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^{2n} [/mm] = [mm] \IR^n \times \IR^n [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe immer noch so meine Schwierigkeiten mit dem Thema Untermannigfaltigkeiten und Co. und stecke mal wieder bei einer Aufgabe (s.o.) fest.
Leider weiß ich nicht so ganz wie ich zeigen soll, dass das Tangentialbündel eine 2k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^{2n} [/mm] ist.
In meinem Skript habe ich folgenden Satz gefunden, der mir vielleicht weiterhelfen könnte:
"Eine Teilmenge M [mm] \subset \IR^n [/mm] ist genau dann eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit, wenn es zu jedem a [mm] \in [/mm] M eine relativ offene Menge V in M mit a [mm] \in [/mm] V, eine offene Teilmenge T [mm] \subset \IR^k [/mm] und eine Immersion [mm] \phi [/mm] : T [mm] \to \IR^n [/mm] mit [mm] \phi(T)=V [/mm] gibt, so dass [mm] \phi: [/mm] T [mm] \to [/mm] V ein Homöomorphismus ist."
Allerdings kann ich damit nicht hunderprozentig etwas anfangen, weil ich so gar nicht weiß, wie und wo ich am besten anfangen soll...
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte die Aufgabe zu lösen UND (zumindest in den wichtigen Punkten) zu verstehen. Vielen Dank schonmal!
Viele Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Do 25.10.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> geg. [mm]M \subset \IR^n[/mm] k-dim. Untermannigfaltigkeit und
> Tangentialbündel [mm]TM=\{(x,y) \in \IR^n \times \IR^n; x \in M, y\in T_x M\} = \bigcup_{x \in M} \{x\}\times T_xM[/mm]
>
> z.z.: TM ist eine 2k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des
> [mm]\IR^{2n}[/mm] = [mm]\IR^n \times \IR^n[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich habe immer noch so meine Schwierigkeiten mit dem Thema
> Untermannigfaltigkeiten und Co. und stecke mal wieder bei
> einer Aufgabe (s.o.) fest.
>
> Leider weiß ich nicht so ganz wie ich zeigen soll, dass
> das Tangentialbündel eine 2k-dimensionale
> Untermannigfaltigkeit des [mm]\IR^{2n}[/mm] ist.
> In meinem Skript habe ich folgenden Satz gefunden, der mir
> vielleicht weiterhelfen könnte:
> "Eine Teilmenge [mm]M \subset \IR^n[/mm] ist genau dann eine
> k-dimensionale Untermannigfaltigkeit, wenn es zu jedem
> [mm]a \in M[/mm] eine relativ offene Menge V in M mit [mm]a \in V[/mm], eine
> offene Teilmenge [mm]T \subset \IR^k[/mm] und eine Immersion [mm]\phi : T \to \IR^n[/mm]
> mit [mm]\phi(T)=V[/mm] gibt, so dass [mm]\phi: T \to[/mm] V ein
> Homöomorphismus ist."
>
> Allerdings kann ich damit nicht hunderprozentig etwas
> anfangen, weil ich so gar nicht weiß, wie und wo ich am
> besten anfangen soll...
>
> Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte die
> Aufgabe zu lösen UND (zumindest in den wichtigen Punkten)
> zu verstehen. Vielen Dank schonmal!
Vielleicht hilft dir erst einmal ein Beispiel:
Sei n=2, [mm] $M=S^1$ [/mm] die Einheitskreislinie. Der Tangentialraum $T_xM$ an einen beliebigen Punkt [mm] $x\in S^1$ [/mm] ist eine Gerade. Also bedeutet [mm] $\{x\}\times [/mm] T_xM$ ein Paar aus dem Punkt x und der Geraden $T_xM$.
Anschaulich kannst du dir die Gerade senkrecht zum [mm] $\IR^2$ [/mm] vorstellen, sodass das Tangentialbündel die Mantelfläche eines unendlich hohen Zylinders im [mm] $\IR^3$ [/mm] ist. Zu zeigen ist, dass diese Fläche eine 2-dim. Untermannigfaltigkeit des [mm] $\IR^4$ [/mm] ist.
Ein kleiner Ausschnitt dieser Fläche (die Menge V) ist homöomorph zu einem kleinen Ausschnitt T des [mm] $\IR^2$. [/mm] Als Immersion kannst du eine passende Koordiantendarstellung des Zylinders nehmen, z.B.
[mm] \phi: T\to V\subset \IR^4: (\varphi,z) \mapsto (\cos\varphi,\sin\varphi,z,0) [/mm] .
Solange der Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] nicht über die gesamte Kreislinie läuft, ist das eine bijektive, in beiden Richtungen stetige Abbildung. (Die 0 am Schluss ist für eine triviale Einbettung des [mm] $\IR^3$ [/mm] in den [mm] $\IR^4$. [/mm] Es ist natürlich auch eine Untermannigfaltigkeit des [mm] $\IR^3$.)
[/mm]
Wie du siehst, zerfällt diese Immersion in zwei Anteile: derjenige, der zur Mannigfaltigkeit [mm] $S^1$ [/mm] gehört, nämlich [mm] $(\cos\varphi,\sin\varphi)$, [/mm] und der andere, der zum jeweiligen Tangentialraum gehört. Dieser zweite Teil ist besonders einfach, weil der Tangentialraum isomorph zum [mm] $\IR^k$ [/mm] ist. Und der erste Teil kommt einfach daher, dass [mm] $M=S^1$ [/mm] eine Untermannigfaltigkeit ist.
Nun sollst du diese Überlegung auf beliebige Untermannigfaltigkeiten verallgemeinern. Dazu musst du wieder benutzen, dass $M$ eine Untermannigfaltigkeit des [mm] $\IR^k$ [/mm] ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Do 25.10.2012 | | Autor: | Pia90 |
Vielen, vielen Dank erstmal für das ausführliche Beispiel! Zwar bin ich noch nicht hundertprozentig dahintergestiegen, aber vielleicht ergibt sich das nun so mit und mit! Ich werde einfach mal versuchen, das Beispiel im Folgenden auf meine Aufgabe zu übertragen...
Also ich habe mein Tangentialbündel
[mm] TM=\{(x,y) \in \IR^n \times \IR^n; x \in M, y\in T_x M\} =\bigcup_{x \in M} \{x\}\times [/mm] T_xM[/mm] und soll nun zeigen, dass dieses eine 2k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des
[mm] \IR^{2n} [/mm] ist.
Wirklich vorstellen kann ich mir das nicht, aber das ist vermutlich in meinem allgemeinen Fall gar nicht möglich, oder?
Der Tangentialraum wird doch im Grunde von den Ableitungen aufgespannt, oder? Muss ich diesen Tangentialraum noch genauer aufstellen?
Das müsste doch dann irgendwas sein in der Art
[mm] T_x M={\bruch{\partial \phi(a)}{\partial x_1}, ..., \bruch{\partial \phi(a)}{\partial x_k}} [/mm] sein. Sehe ich das richtig?
Für das gesuchte [mm] \phi, [/mm] bräuchte ich eine Abbildung [mm] \phi: [/mm] T [mm] \times \IR^k \to [/mm] {m} [mm] \times [/mm] TM ?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Fr 26.10.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Vielen, vielen Dank erstmal für das ausführliche
> Beispiel! Zwar bin ich noch nicht hundertprozentig
> dahintergestiegen, aber vielleicht ergibt sich das nun so
> mit und mit! Ich werde einfach mal versuchen, das Beispiel
> im Folgenden auf meine Aufgabe zu übertragen...
>
> Also ich habe mein Tangentialbündel
> [mm]TM=\{(x,y) \in \IR^n \times \IR^n; x \in M, y\in T_x M\} =\bigcup_{x \in M} \{x\}\times T_xM[/mm]
> und soll nun zeigen, dass dieses eine 2k-dimensionale
> Untermannigfaltigkeit des
> [mm]\IR^{2n}[/mm] ist.
>
> Wirklich vorstellen kann ich mir das nicht, aber das ist
> vermutlich in meinem allgemeinen Fall gar nicht möglich,
> oder?
Nein, schon bei zweidim. Mannigfaltigkeiten nicht mehr.
> Der Tangentialraum wird doch im Grunde von den Ableitungen
> aufgespannt, oder? Muss ich diesen Tangentialraum noch
> genauer aufstellen?
> Das müsste doch dann irgendwas sein in der Art
> [mm]T_x M={\bruch{\partial \phi(a)}{\partial x_1}, ..., \bruch{\partial \phi(a)}{\partial x_k}}[/mm]
> sein. Sehe ich das richtig?
Ja schon, aber hier geht es ja nicht um die Struktur des Tangentialraums. In eurer Definition der Untermannigfaltigkeit ist die Rede von einem Homöomorphismus, also geht es nur um die topologische Struktur. Und dafür ist es ausreichend zu wissen, dass der Tangentialraum als k-dimensionaler Vektorraum isomorph zum [mm] $\IR^k$ [/mm] ist.
> Für das gesuchte [mm]\phi,[/mm] bräuchte ich eine Abbildung
> [mm]\phi: T \times \IR^k \to \{m\} \times TM[/mm] ?!
Nein, so geht das nicht. Rechts muss so etwas wie [mm] $U(m)\times [/mm] T_mM$ stehen.
Außerdem würde ich an deiner Stelle nicht den Buchstaben T verwenden, weil der in der Definition der Untermannigfaltigkeit eine etwas andere Bedeutung hat.
Schreib die Definition nochmal für den vorliegenden Fall hin, da geht es doch um eine 2k-dim. Untermannigfaltigkeit des [mm] $\IR^{2n}$. [/mm] Wenn du noch den Begriff "relativ offene Menge" durch seine Definition ersetzt, heisst das:
"Die Teilmenge $TM [mm] \subset \IR^{2n}$ [/mm] ist genau dann eine 2k-dimensionale Untermannigfaltigkeit, wenn es zu jedem $a [mm] \in [/mm] TM$ eine offene Menge U in [mm] $\IR^{2n}$ [/mm] mit $a [mm] \in V=U\cap [/mm] TM$ , eine offene Teilmenge $T [mm] \subset \IR^{2k}$ [/mm] und eine Immersion [mm] $\phi [/mm] : T [mm] \to \IR^{2n}$ [/mm] mit [mm] $\phi(T)=V$ [/mm] gibt, so dass [mm] $\phi: [/mm] T [mm] \to [/mm] V$ ein Homöomorphismus ist."
Als Voraussetzung hast du, dass M eine Untermannigfaltigkeit des [mm] $\IR^n$ [/mm] ist, also:
Es gibt zu jedem [mm] $m\in [/mm] M$ eine offene Menge [mm] $W\subset \IR^n$ [/mm] mit [mm] $m\in W\cap [/mm] M$, eine offene Teilmenge [mm] $S\subset \IR^{k}$ [/mm] und eine Immersion [mm] $\psi: S\to \IR^{n}$ [/mm] mit [mm] $\phi(S)=W\cap [/mm] M$ , so dass [mm] $\phi: [/mm] S [mm] \to W\cap [/mm] M$ ein Homöomorphismus ist."
Wie oben schon geschrieben, ist jeder Tangentialraum $T_mM$ isomorph (also auch homöomorph) zum [mm] $\IR^n$. [/mm] Daher bietet es sich an, es einfach mal mit [mm] $U=W\times\IR^n$ [/mm] zu probieren. (U ist offen, da sowohl W als auch [mm] $\IR^n$ [/mm] offene Mengen sind.)
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 So 28.10.2012 | | Autor: | Pia90 |
Oh mann, das ist alles so kompliziert... Also noch ein Versuch bzw. eine Zusammenfassung von dem was ich nun habe bzw. weiß...
Also ich habe mein Tangentialbündel [mm]TM=\{(x,y) \in \IR^n \times \IR^n; x \in M, y\in T_x M\} =\bigcup_{x \in M} \{x\}\times T_xM[/mm] und soll nun zeigen, dass dieses eine 2k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm]\IR^{2n}[/mm] ist.
Laut Definition muss dazu gelten:
> "Die Teilmenge [mm]TM \subset \IR^{2n}[/mm] ist genau dann eine
> 2k-dimensionale Untermannigfaltigkeit, wenn es zu jedem [mm]a \in TM[/mm]
> eine offene Menge U in [mm]\IR^{2n}[/mm] mit [mm]a \in V=U\cap TM[/mm] , eine
> offene Teilmenge [mm]T \subset \IR^{2k}[/mm] und eine Immersion [mm]\phi : T \to \IR^{2n}[/mm]
> mit [mm]\phi(T)=V[/mm] gibt, so dass [mm]\phi: T \to V[/mm] ein
> Homöomorphismus ist."
Ich weiß, dass M eine Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^n [/mm] ist, daher gilt:
Es gibt zu jedem [mm]m\in M[/mm] eine offene Menge [mm]W\subset \IR^n[/mm] mit [mm]m\in W\cap M[/mm], eine offene Teilmenge [mm] S\subset \IR^{k}und [/mm] eine Immersion [mm]\psi: S\to \IR^{n}[/mm] mit [mm]\psi(S)=W\cap M[/mm] , so dass [mm]\psi: S \to W\cap M[/mm] ein Homöomorphismus ist.
Des Weiteren ist jeder Tangentialraum T_mM isomorph zum [mm] \IR^n, [/mm] also auch homöomorph.
Da M eine k-dim Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^n [/mm] ist, ist die Menge W nach Definition offen. Ebenso ist [mm] \IR^n [/mm] eine offene Menge.
[mm] U=W\times\IR^n [/mm] ist also ebenfalls offen.
[mm] \Rightarrow [/mm] V= U [mm] \cap [/mm] TM = W [mm] \times \IR^n \cap \{(x,y) \in \IR^n \times \IR^n; x \in M, y\in T_x M\} [/mm] = W [mm] \times \IR^n \cap \bigcup_{x \in M} \{x\}\times [/mm] T_xM
Bin ich soweit noch richtig? Irgendwie komme ich nämlich schon wieder nicht so wirklich weiter... :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Mo 29.10.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Oh mann, das ist alles so kompliziert... Also noch ein
> Versuch bzw. eine Zusammenfassung von dem was ich nun habe
> bzw. weiß...
>
> Also ich habe mein Tangentialbündel [mm]TM=\{(x,y) \in \IR^n \times \IR^n; x \in M, y\in T_x M\} =\bigcup_{x \in M} \{x\}\times T_xM[/mm]
> und soll nun zeigen, dass dieses eine 2k-dimensionale
> Untermannigfaltigkeit des [mm]\IR^{2n}[/mm] ist.
>
> Laut Definition muss dazu gelten:
>
> > "Die Teilmenge [mm]TM \subset \IR^{2n}[/mm] ist genau dann eine
> > 2k-dimensionale Untermannigfaltigkeit, wenn es zu jedem [mm]a \in TM[/mm]
> > eine offene Menge U in [mm]\IR^{2n}[/mm] mit [mm]a \in V=U\cap TM[/mm] , eine
> > offene Teilmenge [mm]T \subset \IR^{2k}[/mm] und eine Immersion [mm]\phi : T \to \IR^{2n}[/mm]
> > mit [mm]\phi(T)=V[/mm] gibt, so dass [mm]\phi: T \to V[/mm] ein
> > Homöomorphismus ist."
>
> Ich weiß, dass M eine Untermannigfaltigkeit des [mm]\IR^n[/mm] ist,
> daher gilt:
>
> Es gibt zu jedem [mm]m\in M[/mm] eine offene Menge [mm]W\subset \IR^n[/mm]
> mit [mm]m\in W\cap M[/mm], eine offene Teilmenge [mm]S\subset \IR^{k}und[/mm]
> eine Immersion [mm]\psi: S\to \IR^{n}[/mm] mit [mm]\psi(S)=W\cap M[/mm] , so
> dass [mm]\psi: S \to W\cap M[/mm] ein Homöomorphismus ist.
>
> Des Weiteren ist jeder Tangentialraum $T_mM$ isomorph zum
> [mm]\IR^n,[/mm] also auch homöomorph.
> Da M eine k-dim Untermannigfaltigkeit des [mm]\IR^n[/mm] ist, ist
> die Menge W nach Definition offen. Ebenso ist [mm]\IR^n[/mm] eine
> offene Menge.
>
> [mm]U=W\times\IR^n[/mm] ist also ebenfalls offen.
> [mm]\Rightarrow V= U \cap TM = W \times \IR^n \cap \{(x,y) \in \IR^n \times \IR^n; x \in M, y\in T_x M\} = W \times \IR^n \cap \bigcup_{x \in M} \{x\}\times T_xM [/mm]
>
> Bin ich soweit noch richtig? Irgendwie komme ich nämlich
> schon wieder nicht so wirklich weiter... :/
Schreib es ein bischen anders hin:
[mm] U = W \times \IR^n = \{(x,y) \in \IR^n \times \IR^n; x \in W, y \in \IR^n \} [/mm]
und daher
[mm] U\cap TM = \{(x,y) \in \IR^n \times \IR^n; x \in W\cap M, y \in T_xM \} [/mm] .
Also kannst du für eine offene Menge $U = W [mm] \times \IR^n$ [/mm] die Immersion [mm] $\phi$ [/mm] einfach definieren als
[mm]\phi(u,v) = (\psi(u),v) [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:30 Di 30.10.2012 | | Autor: | Pia90 |
> Hallo!
>
> > Oh mann, das ist alles so kompliziert... Also noch ein
> > Versuch bzw. eine Zusammenfassung von dem was ich nun habe
> > bzw. weiß...
> >
> > Also ich habe mein Tangentialbündel [mm]TM=\{(x,y) \in \IR^n \times \IR^n; x \in M, y\in T_x M\} =\bigcup_{x \in M} \{x\}\times T_xM[/mm]
> > und soll nun zeigen, dass dieses eine 2k-dimensionale
> > Untermannigfaltigkeit des [mm]\IR^{2n}[/mm] ist.
> >
> > Laut Definition muss dazu gelten:
> >
> > > "Die Teilmenge [mm]TM \subset \IR^{2n}[/mm] ist genau dann eine
> > > 2k-dimensionale Untermannigfaltigkeit, wenn es zu jedem [mm]a \in TM[/mm]
> > > eine offene Menge U in [mm]\IR^{2n}[/mm] mit [mm]a \in V=U\cap TM[/mm] , eine
> > > offene Teilmenge [mm]T \subset \IR^{2k}[/mm] und eine Immersion [mm]\phi : T \to \IR^{2n}[/mm]
> > > mit [mm]\phi(T)=V[/mm] gibt, so dass [mm]\phi: T \to V[/mm] ein
> > > Homöomorphismus ist."
> >
> > Ich weiß, dass M eine Untermannigfaltigkeit des [mm]\IR^n[/mm] ist,
> > daher gilt:
> >
> > Es gibt zu jedem [mm]m\in M[/mm] eine offene Menge [mm]W\subset \IR^n[/mm]
> > mit [mm]m\in W\cap M[/mm], eine offene Teilmenge [mm]S\subset \IR^{k}und[/mm]
> > eine Immersion [mm]\psi: S\to \IR^{n}[/mm] mit [mm]\psi(S)=W\cap M[/mm] , so
> > dass [mm]\psi: S \to W\cap M[/mm] ein Homöomorphismus ist.
> >
> > Des Weiteren ist jeder Tangentialraum [mm]T_mM[/mm] isomorph zum
> > [mm]\IR^n,[/mm] also auch homöomorph.
> > Da M eine k-dim Untermannigfaltigkeit des [mm]\IR^n[/mm] ist,
> ist
> > die Menge W nach Definition offen. Ebenso ist [mm]\IR^n[/mm] eine
> > offene Menge.
> >
> > [mm]U=W\times\IR^n[/mm] ist also ebenfalls offen.
> > [mm]\Rightarrow V= U \cap TM = W \times \IR^n \cap \{(x,y) \in \IR^n \times \IR^n; x \in M, y\in T_x M\} = W \times \IR^n \cap \bigcup_{x \in M} \{x\}\times T_xM[/mm]
>
> >
> > Bin ich soweit noch richtig? Irgendwie komme ich nämlich
> > schon wieder nicht so wirklich weiter... :/
>
> Schreib es ein bischen anders hin:
>
> [mm]U = W \times \IR^n = \{(x,y) \in \IR^n \times \IR^n; x \in W, y \in \IR^n \}[/mm]
>
> und daher
>
> [mm]U\cap TM = \{(x,y) \in \IR^n \times \IR^n; x \in W\cap M, y \in T_xM \}[/mm]
> .
>
> Also kannst du für eine offene Menge [mm]U = W \times \IR^n[/mm]
> die Immersion [mm]\phi[/mm] einfach definieren als
>
> [mm]\phi(u,v) = (\psi(u),v)[/mm] .
>
> Viele Grüße
> Rainer
>
Oh danke, so hab ich das ganze gar nicht betrachtet, aber so macht es Sinn!!!
Vielen, vielen Dank für die Hilfe!!!
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