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| Aufgabe | f(x) = [mm] \bruch{1}{5}\wurzel{400-16x^2} x \in [-5;5] [/mm]
Bestimmen Sie näherungsweise die Tangentensteigung an den Stellen -4; -3; -2; -1. |
Hallo!
Diese Grundlage der Differenzialrechnung bereitet mir Schwierigkeiten.
Wie kann man eigentlich beim Vergrößern eines Graphen feststellen ob eine kleine Stelle durch eine Tangente ersetzbar ist?
z.B.
f(x) = sin x bei x0 = 1,5
schnittweite 0,1 (x =1,4 ; f(x)= 0,985),(x=1,5 ; f(x) = 0,997),(x =1,6 ; f(x) = 0,999)
schnittweite 0,001(x = 1,499 ; f(x) = 0,997424),(x =1,500 ; f(x) = 0,997495) : ( x = 1,5001 ; f(x) =0,997565)
Hier z.B. ändert sich mit der Schnittweite auch der f(x) - Wert um einige Dezimalstellen. Heißt das, dass dieser Punkt nicht durch eine Tangente ersetzbar ist?
Aber zurück zur Aufgabe! Meine Ansätze sind:
Tangentengleichung formulieren:
t(x) = mx +b
5 = m*(-4)+b
b = -m*4+5
t(x) = +5+m(x-4)
Sekantensteigung als Näherungswert für Tangentensteigungen:
x2 - x1 = -3,5 - (-4,5) = 1
x1 und x2 in die Funktion einsetzen, ich erhalte:
f(x1) = 2,8565
f(x2) = 1,743559
[mm] \bruch{f(x2) - f(x1)}{x2-x1} [/mm]
Erhaltenen Wert in die Tangentengleichung einsetzen:
t(x) = 5 +(1,11294)*(x-4)
Sollte 1,11294 nich ein Näherungswert für die Tangentensteigung durch Punkt (-4;5) sein?
Als Lösung für die Stelle -4 ist jedoch 1,067 angegeben. Was mach ich falsch?
Könnte mir bitte jemand den Lösungsweg für die Ermittlung der Tangentensteigung schrittweise erklären?
Vielen Dank im Voraus
Gruß
Angelika
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 So 27.04.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Das ist irgendwie alles verwirrend.
In deiner Ursprungsaufgabe steht eine Wurzel - dafür könntest du schreiben: hoch ein Halb. Und dann die Kettenregel anwenden, um die erste Ableitung zu erhalten.
Und da setzt du dann -4 , -3 etc. ein, und siehst, wie groß die Steigung an den entsprechenden Stellen ist.
Die Sache mit dem Sinus hat mit der Aufgabe nichts zu tun und verwirrt nur.
Auch das [mm] x\in [/mm] ... in der Aufgabenstellung ist mehr verwirrend als hilfreich
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 So 27.04.2008 | | Autor: | Andi |
Hallo Angelika,
> Wie kann man eigentlich beim Vergrößern eines Graphen
> feststellen ob eine kleine Stelle durch eine Tangente
> ersetzbar ist?
Wenn du an einen Punkt des Graphen eindeutig eine Tangenten legen kannst, dann ist der Graph in einer kleinen Umgebung dieses Punktes durch eine Tangente aproximierbar (annäherbar, ersetzbar ....)
> z.B.
>
> f(x) = sin x bei x0 = 1,5
> schnittweite 0,1 (x =1,4 ; f(x)= 0,985),(x=1,5 ; f(x) =
> 0,997),(x =1,6 ; f(x) = 0,999)
>
> schnittweite 0,001(x = 1,499 ; f(x) = 0,997424),(x =1,500 ;
> f(x) = 0,997495) : ( x = 1,5001 ; f(x) =0,997565)
>
> Hier z.B. ändert sich mit der Schnittweite auch der f(x) -
> Wert um einige Dezimalstellen. Heißt das, dass dieser Punkt
> nicht durch eine Tangente ersetzbar ist?
Doch man kann die Sinusfunktion hier mit einer Gerade annähern,
aber natürlich ist die Aproximation umso genauer, je kleiner die Schnittweite ist.
> Aber zurück zur Aufgabe! Meine Ansätze sind:
>
> Tangentengleichung formulieren:
Laut Aufgabenstellung brauchst du die Tangentengleichung nicht.
Es ist nur nach der Tangentensteigung gefragt.
> t(x) = mx +b
> 5 = m*(-4)+b
Wo kommt hier die 5 her? f(-4)=2,4
> b = -m*4+5
> t(x) = +5+m(x-4)
>
> Sekantensteigung als Näherungswert für
> Tangentensteigungen:
Falls du schon ableiten kannst, könntest du auch die
Tangentensteigung exakt angeben.
> x2 - x1 = -3,5 - (-4,5) = 1
>
> x1 und x2 in die Funktion einsetzen, ich erhalte:
>
> f(x1) = 2,8565
> f(x2) = 1,743559
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\bruch{f(x2) - f(x1)}{x2-x1}[/mm]
[mm]\bruch{f(x2) - f(x1)}{x2-x1}=1,16[/mm]
> Erhaltenen Wert in die Tangentengleichung einsetzen:
>
> t(x) = 5 +(1,11294)*(x-4)
Ich erhalte für die Tangentensteigung ca. 1,16
> Sollte 1,11294 nich ein Näherungswert für die
> Tangentensteigung durch Punkt (-4;5) sein?
Der Punkt (-4;5) liegt nicht auf dem Graphen von f.
Aber wenn er darauf liegen würde, wäre das ein Näherungswert der Tangentensteigung.
> Als Lösung für die Stelle -4 ist jedoch 1,067 angegeben.
> Was mach ich falsch?
Nichts .... es war alles richtig. Der Näherungswert 1,067 ist ziemlich genau
der exakte Wert. Das heißt, du musst deine Schnittweite kleiner wählen,
um diesen Wert zu erreichen.
Oder du berechnest die Ableitfunktion f' (falls du das kannst), dann ist
deine Tangentensteigung m=f'(-4)
Viele Grüße,
Andi
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