Tangentenberechnung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Aufgabe lautet:
f(x)=1/5x(hoch2)+2
a)Berechne die Tangente an f(x) an der Stelle x0=1
b)Berechne die Tangente an f(x) vom Punkt (01) aus.
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bitte um genaue erklärung.
Schon mal Danke im Vorraus!
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 Do 17.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Generell suchst du ja geraden der Form t(x)=mx+n, du brauchst also zwie Bedingungen, um die Variablem m und n zu bestimmen.
zu a)
Hier hast du ja einen Punkt auf dem Graphen von f gegeben, nämlich P(1/f(1))
(f(1) ist noch zu berechnen)
Dieser liegt ja auch auf t.
Jetzt weisst du, das die Steigung m der Geraden identisch mit der des Funktion f an der Stelle [mm] x_{0}=1 [/mm] ist. Die Steigung von f an dieser telle bestimmst du mit der 1. Ableitung, also f'(1).
Somit gilt: m=f'(1)
Also: t(x)=f'(1)*x+n
Bleibt noch, n zu bestimmen: Hier brauchst du den Punkt P. Da diese auf der Geraden liegt, gilt:
[mm] \overbrace{f(1)}^{=t(1)}=m*1+n
[/mm]
mit der Bedingung für m kannst du daraus das n bestimmen, und somit die Tangente.
zu b).
Hier wird es etwas komplizierter, da der gegebene Punkt nicht auf f liegt.
Du weisst, dass m=f'(x) sein soll, aber du kennst diesen Berührpunkt zwischen t und f nicht, nennen wir ihn mal [mm] B(x_{b}/f(x_{b}))
[/mm]
Also können wir t(x)=mx+n schreiben als:
[mm] t(x)=f'(x_{b})*x+n
[/mm]
Jetzt weisst du aber, dass P(0/1) auch auf der Tangente liegt.
Also: [mm] 1=f'(x_{b})*0+n
[/mm]
Daraus kannst du jetzt das n bestimmen (evtl aber durch einen Term in Abhängigkeit von [mm] x_{b}.
[/mm]
Hast du das n, kannst du dann mal diie Tangente und di Funktion f gleichsetzen, um den konkreten Punkt [mm] B(X_{b}/f(x_{b})) [/mm] zu bestimmen, und damit nachher auch die konkrete Steigung [mm] m=f'(x_{b}) [/mm] der Tangente..
Marius
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