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| Aufgabe | Gegeben ist [mm] f(x)=x^{3}+2x^{2}+kx
[/mm]
Bestimme k so, dass die beiden (parallelen) Tangenten am Hochpunkt und Tiefpunkt den Abstand EINS haben. |
Das hört sich auf den ersten Blick einfach an. Aber ab einer bestimmten Stelle geht es nicht weiter.
Meine Vorgehensweise:
1. Ableitung bilden und NULL setzen. So erhält man die x-Werte von Hoch- und Tiefpunkt.
Es wäre nun ein Leichtes, wenn diese x-Werte EINS auseinander sein sollten. Aber es sollen ja die y-Werte EINS auseinander sein.
Als x-Werte für Hoch- und Tiefpunkt habe ich übrigens raus:
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] -\bruch{2}{3}-\wurzel{\bruch{4}{9}-\bruch{k}{3}}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] -\bruch{2}{3}+\wurzel{\bruch{4}{9}-\bruch{k}{3}}
[/mm]
Und diese beiden Werte muss man nun in [mm] x^{3}+2x^{2}+kx [/mm] einsetzen, und die Differenz muss dann EINS ergeben.
[mm] x_{1}^{3}+2x_{1}^{2}+kx_{1} [/mm] - [mm] (x_{2}^{3}+2x_{2}^{2}+kx_{2}) [/mm] = 1
Und nun muss man noch das obige [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] da reinsetzen und das Ganze nach k auflösen.
Da wird einem ja schwindelig. Ist das der Sinn der Übung?
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Hallo!
Ja, das ist Sinn der Übung... Allerdings:
Und nun muss man noch das obige $ [mm] x_{1} [/mm] $ und $ [mm] x_{2} [/mm] $ da reinsetzen und das Ganze nach k auflösen.
sorgt für sehr viel Schwindel. Versuche es doch andersrum, also zuerst nach k auflösen, und dann [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] einsetzen.
Weiterhin bringt es vielleicht etwas, wenn zuerst mal allgemein [mm] x_1=a-b [/mm] und [mm] x_2=a+b [/mm] einsetzt, damit sollten sich noch ein paar weitere Vereinfachungen ergeben, bevor du den Bruch und die Wurzel einsetzt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 So 18.10.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Das mit dem a+b und a-b war ein guter Tipp - z.B. um auszurehnen
[mm] (a+b)^{3}-(a-b)^{3}
[/mm]
Da fällt so manches dann weg.
Am Ende habe ich raus (falls nicht verrechnet, was ich allerdings befürchte):
[mm] k^{3}-4k^{2}+5.34k-1.62=0
[/mm]
So etwas ist zwar auch nicht gut zu lösen, aber wofür gibt es Taschenrechner, die Nullstellen bestimmen können.
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Hallo!
Die Aufgabe ist heftig, aber Du siehst und rechnest das vollkommen richtig:
$k= [mm] \frac [/mm] 43- [mm] \frac [/mm] 34 [mm] \cdot 2^{\frac 23}$
[/mm]
Allerdings frage ich mich, warum eine solche Aufgabe in Zeiten, wo das "handwerkliche Rechnen" überhaupt keine Rolle mehr spielen darf oder soll.
Mit einer näherungsweisen Lösung per GTR wäre ich da auch zufrieden, wenn der Rechenweg ordentlich dokumentiert ist.
Gruß
mathemak
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