Tangenten an Parabeln < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 Sa 06.12.2008 | | Autor: | g0f |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Schar von Parabeln durch y= ax². (a ist nicht gleich 0)
Welche Parabel der Schar berührt die Gerade mit der Gleichung y= 2x-4?
Welche Koordinaten hat der Berührpunkt?
|
also die Gerade muss also eine Tangente sein und man kann ja durch die Tangentengleichung die Steigung der Parabel bestimmen. Ich weiss nur das m= 2ax sein muss aber ich weiss nicht wie ich jetzt an die Steigung der Parabel komme.
|
|
| |
|
Hallo!
Deine Funktion ist gegeben durch
$f(x)\ =\ [mm] a*x^{2}$
[/mm]
Richtig hast du schon erkannt, dass an jeder Stelle x dann die Steigung der Funktion
$f'(x)\ =\ 2*a*x$
beträgt. Du hast nun eine Tangente vorgegeben, welche die Funktion berühren soll. Weil die vorgegebene Tangente schonmal die Steigung 2 hat (2x-4), ist klar, dass an dieser bestimmten Stelle, wo die Tangente die Funktion berührt,
$f'(x) = 2*a*x = 2$
gelten muss, d.h.
$x = [mm] \bruch{1}{a}$.
[/mm]
D.h. deine gegebene Funktion tangiert die gegebene Tangente, wenn überhaupt, an der Stelle x = [mm] \bruch{1}{a}. [/mm] Wir können sogar sagen: Wenn überhaupt, tangiert die gegebene Tangente die Funktion im Punkt
[mm] $P\left(\bruch{1}{a}\Bigg| f\left(\bruch{1}{a}\right)\right)$
[/mm]
Den y-Wert des Punktes kannst du nun noch ausrechnen. Nun haben wir aber bisher nur die Steigung der Tangente benutzt. Überlege, welche Gleichung sich ergibt, wenn wir nun fordern, dass die Tangente durch obigen Punkt geht!
Daraus erhält man dann a.
Grüße,
Stefan.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:03 Sa 06.12.2008 | | Autor: | g0f |
ich kann dir nicht ganz folgen weil wir das iwie anders gelernt habn und ich das nicht verstehe ..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo g0f!
Mal in Kurzform, was Du berechnen musst: Damit sich zwei Funktiongraphen berühren, müssen sie an der entsprechenden Stelle sowohl im Funktionswert als auch in der Steigung übereinstimmen.
Es muss also gelten:
$$g(x) \ = \ f(x)$$
$$g'(x) \ = \ f'(x)$$
Übertragen auf Deine Aufgabe ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$$2*x-4 \ = \ [mm] a*x^2$$
[/mm]
$$2 \ = \ 2*a*x$$
Forme nun die 2. Gleichung nach $a \ = \ ...$ um und setze in die 1. Gleichung ein.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:30 Sa 06.12.2008 | | Autor: | g0f |
oke das versteh ich schon eher.. also ich hab jetzt als berührpunkt B(1/0.25) stimmt das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:37 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo g0f!
Das stimmt nicht. Wie bist Du darauf gekommen?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Sa 06.12.2008 | | Autor: | g0f |
also es ist ya 2=2ax also a=1/x
dann hab ich das in die gleichung eingestetzt
also von 2x-4=ax² also 2x-4=1/4 x²
und dann kam da 4=x raus. also müsste a dann 1/4 sein
und dann hab ich wieder die Gleichung gleich gesetzt
also 1/4x²=2x-4 und durch die allgemeine lösungsformel bin ich dann zu diesem berührpunkt gekommen B(1/0.25)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Sa 06.12.2008 | | Autor: | g0f |
achso das hab ich auch gemacht sorry hab mich verschrieben..
also es kam ja x=4 raus und weil a=1/x ist hab ich dann für a=1/4
und dann hab ich die Gleichungen gleichgesetzt die tangentengleichung gleich der parabelgleichung
2x-4=ax² und hab für 1/4 eingesetzt
2x-4=1/4x²
dann kommt da 1/4x²-2x+4=0 und hab die allgemeine Lösungsformel benutzt oder die p/q formel ist ja egal und dann kam für x= 1 raus und dass hab ich dann in die Parabelgleichung eingesetzt
y=1/4x² also y=1/4 deswegen B (1/0.25)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo g0f!
> und dann hab ich die Gleichungen gleichgesetzt die
> tangentengleichung gleich der parabelgleichung
> 2x-4=ax² und hab für 1/4 eingesetzt
> 2x-4=1/4x²
Das ist unnötig, da Du ja bereits $x \ = \ 4$ ermittelt hast!
> dann kommt da 1/4x²-2x+4=0 und hab die allgemeine
> Lösungsformel benutzt oder die p/q formel ist ja egal und
> dann kam für x= 1 raus
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Da musst Du Dich verrechnet haben. Auch hier kommt wieder $x \ = \ 4$ heraus.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Sa 06.12.2008 | | Autor: | g0f |
also ich seh meinen Fehler nicht vielleicht schreib ich einfach mal meine rechnung auf..
also ich hab ja die Gleichungen gleichgesetzt
1/4x²=2x-4
dann komm ich auf
1/4x²-2x+4=0
dann setzt ich a=1/4 b=-2 und c=4
in die allgemeine Lösungsformel ein
x= -b +/- [mm] \wurzel{b²-4ac} [/mm] /4ac
und die Diskriminante ist gleich null da [mm] 2^2 [/mm] -4*1/4*4= 0
also ist nur noch - -2/ [mm] 4*\bruch{1}{4}*4 [/mm] und das ergibt 1
also x=1 und das ist die x-koordinate des berührpunktes also meine meinung nach^^
|
|
|
| |
|
Hallo g0f,
> also ich seh meinen Fehler nicht vielleicht schreib ich
> einfach mal meine rechnung auf..
> also ich hab ja die Gleichungen gleichgesetzt
> 1/4x²=2x-4
>
> dann komm ich auf
> 1/4x²-2x+4=0
>
> dann setzt ich a=1/4 b=-2 und c=4
> in die allgemeine Lösungsformel ein
> x= -b +/- [mm]\wurzel{b²-4ac}[/mm] /4ac
> und die Diskriminante ist gleich null da [mm]2^2[/mm] -4*1/4*4= 0
>
> also ist nur noch - -2/ [mm]4*\bruch{1}{4}*4[/mm] und das ergibt 1
>
> also x=1 und das ist die x-koordinate des berührpunktes
> also meine meinung nach^^
Die Lösungsformel einer quadratischen Gleichung
[mm]ax^{2}+bx+c=0[/mm]
lautet:
[mm]x_{1,2}=\bruch{-b \pm \wurzel{b^{2}-4ac}}{\red{2a}}[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 Sa 06.12.2008 | | Autor: | g0f |
ja hab ich auch benutzt hab mich wohlk wieder verschriebn :D sry^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:17 Sa 06.12.2008 | | Autor: | g0f |
also ich seh meinen Fehler nicht vielleicht schreib ich einfach mal meine rechnung auf..
also ich hab ja die Gleichungen gleichgesetzt
1/4x²=2x-4
dann komm ich auf
1/4x²-2x+4=0
dann setzt ich a=1/4 b=-2 und c=4
in die allgemeine Lösungsformel ein
x= -b +/- [mm] \wurzel{b²-4ac} [/mm] /4ac
und die Diskriminante ist gleich null da [mm] 2^2 -4*\bruch{1}{4}*4= [/mm] 0
also ist nur noch - -2/ [mm] 4*\bruch{1}{4}*4 [/mm] und das ergibt 1
also x=1 und das ist die x-koordinate des berührpunktes also meine meinung nach^^
sorry das ich das jetzt 2mal hingeschriebn habe .. ^^
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
