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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:44 Mo 26.02.2007 | | Autor: | sun89 |
| Aufgabe | Die Mittellinie einer Rennstrecke wird durch y = 4 - 1/2x² beschrieben. Bei spiegelglatter Fahrbahn rutscht ein Fahrzeug und landet im Punkt Y (0/6) "in den Strohballen". Wo hat das Fahrzeug die Straße verlassen? Skizze!
(Dazu gibt es ein Bild, darauf ist der Scheitelpunkt S(0/4), falls man das benötigt?!) |
So wir sind am Ende.. ;)
Ich versuche mit einer Kurs-Kollegin grade seit einer halben Stunde die Aufgabe zu lösen, aber wir wissen einfach nicht wie.
Wir wollten erst einmal m(x) ausrechnen. Dann hätten wir ja die Steigung des Graphen, aber hilft uns das weiter??
Und wir glauben, dass die Strecke, wo der Wagen von der Straße abkommt, eine Tangente sein müsste.
Bitten um Hilfe!
LG, sun
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 Mo 26.02.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du hast einen dir nicht bekannten Punkt P(x;y), den du suchst. Das ist genau der Punkt, an dem der Wagen aus der Kurve "fliegt". Denn fliegt ein Wagen aus der Kurve, so fliegt er linear ab, d.h. er befindet sich auf einer Geraden mit der Steigung f'(x), welche durch den Abflugpunkt verläuft.
Alles klar, wie kann man die Informationen jetzt "verwursten"?
Ich gebe euch einen Tipp:
Trag mal das Steigungsdreieck der Geraden ein, welche durch den Punkt P(x;y), nämlich dem Abflugpunkt, und dem Punkt (0;6) geht, denn hier fliegt das Auto ja in den Strohballen, d.h. die Gerade verläuft durch den Punkt Q(0;6).
Nun ja, was weiß man über diese Steigung?
Genau, sie muss genauso groß sein, wie die Steigung, die die Funktion f im Punkt P(x;y) hat, d.h. diese Steigung, welche ihr durch das Steigungsdreieck ausdrücken könnt, muss gleich groß sein, wie f'(x).
Die Lösung sollte x=2 bzw x=-2 sein. Da muss man dann gucken, wie rum das Auto durch die Kurve fährt, dann kann man den Richtigen Abflugpunkt herausfinden.
Slaín,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Mo 26.02.2007 | | Autor: | sun89 |
Also wenn ich f'(x) ausrechne...
(Muss ich das überhaupt als erstes machen?)
..., dann bekomme ich daraus f'(x) = -x
Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:43 Di 27.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Richtig, die Steigung ist -x, im gesuchten Punkt (x1,y1) ist die Steigung also -x1, die Tangente durch [mm] (x1,4-1/2x1^2) [/mm] ist dann y=-x1*x [mm] +x1^2+4-1/2x1^2
[/mm]
diese tangente muss durch den Punkt (0,6) gehen. den Punkt einsetzen und x1 daraus ausrechnen.
Anderer Weg: die Steigung von (0,6) zum Punkt (x1,4-1/2x1^2muss -x1 sein.
Die gleichung fuer x1 wird die gleiche.
Gruss leduart
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Die Gleichung hat ja die Form
Y=m*x+n
m=-x
aber wie kommst du auf n=x1 + 4 - 1/2 x1² ???
gibt es da eine nachvollziehbare Regel?
MfG
Deathstrike
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Hallo Deathstrike
Also die allgemeine Gleichung einer Tangente t an einem Punkt [mm] (x_0/f(x_0)) [/mm] des Graphen einer Funktion f lautet:
[mm] \red{t(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)}
[/mm]
Nun ist die Funktion [mm] f(x)=4-\frac{1}{2}x^2
[/mm]
und f'(x)=-x
Damit ist die Tangente an einen beliebigen Punkt [mm] P=(x_0/f(x_0)) [/mm] von f gegeben durch [mm] t(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=4-\frac{1}{2}x_0+(-x_0)(x-x_0)
[/mm]
Nun geht die Tangente durch den Punkt (0/6), also t(0)=6
also [mm] 4-\frac{1}{2}x_0+(-x_0)(0-x_0)=6
[/mm]
[mm] \gdw \frac{1}{2}x_0^2=2\Rightarrow x_0=2\vee x_1=-2
[/mm]
Es gibt also zwei Tangenten [mm] t_0 [/mm] und [mm] t_1
[/mm]
Für die Berechnung von [mm] t_0 [/mm] nehmen wir die Lösung [mm] x_0=2 [/mm] her
[mm] t_0(x)=f(2)+f'(2)(x-2)=4-\frac{1}{2}2^2+(-2)(x-2)=4-2-2x+4=\blue{-2x+6}
[/mm]
Das ist die Gleichung der ersten Tangente
Für die Berechnung von [mm] t_1 [/mm] nehmen wir die Lösung [mm] x_1=-2 [/mm] her:
[mm] t_1(x)=f(-2)+f'(-2)(x-(-2))=4-\frac{1}{2}(-2)^2+(-(-2))(x+2)=2+2x+4=\green{2x+6}
[/mm]
Das ist die Gleichung der zweiten Tangente
Welche Tangente es nun ist, hängt von der Fahrtrichtung ab.
Ich packe mal den Graphen von f und die beiden Tangenten in den Anhang, dann wird es auch am Schaubild deutlich
Hoffe, das war einigermaßen nachvollziehbar
Gruß
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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