Tangente an f' < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Vom Punkt P(4/-12) aus werden Tangenten an den Graphen von f: f(x)=1/x gelegt. Ermittle die Berührpunkte mit dem Graphen von f'. |
Da ich leider letztes Jahr nicht so reecht aufgepasst habe, weiß ich jetzt nicht so richtig wie ich diese Aufgabe rechnen soll. :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 So 19.08.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Da du eine Tangente suchst, suchst du ja eine Gerade der Form t(x)=mx+b, wobei du das m und das b bestimmen sollst.
Was weiss ich jetzt über die Tangente?
1) P(4/-12) soll auf der Geraden liegen, also soll gelten:
t(4)=-12
Also: -12=m*4+b [mm] \gdw [/mm] b=-12-4m
2) Am Berührpunkt [mm] B(x_{b}/f(x_{b})) [/mm] (leider unbekannt), hat die Tangente die gleiche Steigung wie der Graph der Funktion f. Dessen Steigung kannst du ja mit Hilfe der Ableitung bestimmen, es gilt also [mm] m=f'(x_{b}). [/mm]
Somit gilt für die Tangente:
[mm] t(x)=f'(x_{b})*x+\underbrace{(-12-4m)}_{b}=f'(x_{b})*x+(-12-4f'(x_{b}))
[/mm]
Jetzt bleibt noch, den Berührpunkt, und damit der konkrete Wert für [mm] f'(x_{b}) [/mm] zu bestimmen. Hier soll ja gelten:
t(x)=f(x), also
[mm] \bruch{1}{x}=\underbrace{-\bruch{1}{x²}}_{f'(x)}*x+(-12+\bruch{4}{x²})
[/mm]
Daraus berechnest du jetzt dein [mm] x_{b} [/mm] des Berührpunktes, und dann [mm] f(x_{b}) [/mm] und [mm] f'(x_{b}). [/mm] Mit dem Ergebnis von [mm] f'(x_{b}) [/mm] bestimmst du dann dein m und b der gesuchten Tangente.
Marius
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Vielen dank für die schnelle und ausführliche erklärung.^^
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