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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Tangente an Schnittkurve
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Tangente an Schnittkurve: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:00 Mo 04.10.2010
Autor: Kuriger

Hallo

Hier ist die Gleichung der Tangente zur Schnittkurve der Fläche durch den gegebenen Punkt [mm] P_0 [/mm] zu finden. Die Gleichung dieser Tangente ist in der Parameterform zur Geradengleichung anzugeben.

x + [mm] y^2 [/mm] + 2z = 4, x = 1, [mm] P_0 [/mm] = (1,1,1)

Ich habe hier meine Probleme...Ich erhalte eine Tangentialebene von:
x + 2y + 2z = 5
Aber egsucht ist ja eine Tangente...
Setze ich nun einfach für x = 1 ein?
2y + 2z = 4
Nein das stimmt nicht...ich weiss nicht wie...

herauskommen sollte:
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + t [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -1} [/mm]

Danke für die Hilfe

        
Bezug
Tangente an Schnittkurve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:19 Mo 04.10.2010
Autor: fred97


> Hallo
>  
> Hier ist die Gleichung der Tangente zur Schnittkurve der
> Fläche durch den gegebenen Punkt [mm]P_0[/mm] zu finden. Die
> Gleichung dieser Tangente ist in der Parameterform zur
> Geradengleichung anzugeben.
>  
> x + [mm]y^2[/mm] + 2z = 4, x = 1, [mm]P_0[/mm] = (1,1,1)
>  
> Ich habe hier meine Probleme...Ich erhalte eine
> Tangentialebene von:
>  x + 2y + 2z = 5
>  Aber egsucht ist ja eine Tangente...
>  Setze ich nun einfach für x = 1 ein?
>  2y + 2z = 4
>  Nein das stimmt nicht...ich weiss nicht wie...
>  
> herauskommen sollte:
>  [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] + t [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ -1}[/mm]
>
> Danke für die Hilfe



"  ...   Tangente zur Schnittkurve der Fläche durch den gegebenen Punkt $ [mm] P_0 [/mm] $ ...."

Da fehlt noch was. Es gibt nicht "die" Schnittkurve

FRED

Bezug
                
Bezug
Tangente an Schnittkurve: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:35 Mo 04.10.2010
Autor: Kuriger

Hallo

Habe eine falsche Präposition verwendet...

Hier nochmals der gesamte Aufgabenstellungstext:

Hier ist die Gleichung der Tangente zur Schnittkurve der
Fläche durch den gegebenen Punkt [mm]P_0[/mm] zu finden. Die
Gleichung dieser Tangente ist in der Parameterform der
Geradengleichung anzugeben

Ich hoffe ihr könnt mir nun helfen

Danke, Gruss Kuriger

Bezug
                        
Bezug
Tangente an Schnittkurve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:01 Mo 04.10.2010
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Kuriger,

ich glaube verstanden zu haben, was gemeint ist.
Wir haben eine (gekrümmte) Fläche, nennen wir sie F:

      F:  $\ [mm] x+y^2+2\,z\ [/mm] =\ 4$

Ferner haben wir die Schnittebene  S: x=1 .
Die Schnittkurve von F und S sei k.
Nun ist die Tangente t an die Raumkurve k im
Punkt [mm] P_0(1,1,1) [/mm] gesucht.
Zuerst sollte man natürlich prüfen, ob [mm] P_0 [/mm] tat-
sächlich auf k liegt. Um die Tangente zu ermitteln,
könnte man nun einfach in der Ebene S und im
dort befindlichen y-z-Koordinatensystem ganz
gewöhnliche "eindimensionale" Differentialrech-
nung benützen.

LG     Al-Chw.

Bezug
                                
Bezug
Tangente an Schnittkurve: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:35 Mo 04.10.2010
Autor: Kuriger

Hallo Al-Chwarizmi

k: [mm] y^2 [/mm] + 2z = 3
f(y) = 1.5 - [mm] \bruch{1}{2}y^2 [/mm]
f'(x) = - y

Ich versteh offensichtlich nicht wie das geht...

Gruss Kuriger

Bezug
                                        
Bezug
Tangente an Schnittkurve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 Mo 04.10.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo Al-Chwarizmi
>  
> k: [mm]y^2[/mm] + 2z = 3     [ok]
>  f(y) = 1.5 - [mm]\bruch{1}{2}y^2[/mm]     [ok]
>  f'(x) = - y

Das sollte heißen  f'(y) = - y

> Ich versteh offensichtlich nicht wie das geht...

... du bist aber jedenfalls nah dran !

Der Punkt [mm] P_0 [/mm] mit [mm] x_0=y_0=z_0=1 [/mm] erfüllt offenbar die
Kurvengleichung. Die Kurve k (und damit auch die
gesuchte Tangente t) liegt in der Ebene S: x=1 .
An der Stelle [mm] y_0=1, [/mm] also im Punkt [mm] P_0 [/mm] , hat die Kurve k
(in S) die Steigung [mm] f'(y_0)=f'(1)=-1 [/mm] . In S verläuft die
Tangente t also mit dem Steigungswinkel -45° nach rechts
(y-Richtung) unten (negative z-Richtung). Somit kann
man leicht einen Richtungsvektor für die Tangente t
erkennen, nämlich  [mm] \vektor{0\\1\\-1} [/mm] . Die Null in x-Richtung
kommt daher, dass innerhalb der Ebene S (und damit
auch längs k und längs t)  der x-Wert x=1 konstant ist.


LG     Al-Chw.

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