Tangente an Kurve und 0stellen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Di 24.01.2012 | | Autor: | Azariel |
Hallöchen :)
Ich habe eine Frage, die sich nicht direkt auf eine Aufgabe oder ein Verfahren bezieht sondern habe ich Probleme, verschiedene Verfahren in einen Zusammenhang zu bringen, was mir einfach durch logisches Denken nicht gelingen will.
Im Groben geht es um Tangenten an Kurven:
Ich weiß, dass Tangenten an Kurven den Sinn haben, die Steigung der Kurve im Berührpunkt der Tangente zu bestimmen (da Kurven ja an jeder Stelle eine andere Steigung haben). Sie sind somit ein Hilfsmittel.
Die Frage ist jetzt: Wie komme ich an eine solche Tangente?
In meinem Uni-Skript ist dann von einer Sekantensteigungsfunktion die Rede. Die Funktion selber verstehe ich, ist ja im Endeffekt nicht anderes als die Steigungsfunktion für Geraden. Im folgenden ist dann aber die Rede von "Um Tangenten an den Graphen einer Fkt zu bestimmen, betrachtet man den Grenzwert der Sekantensteigungsfunktion". Grenzwert? Ich kann mit der Funktionen eine Wert ausrechnen, allerdings ist das für mich die Steigung der Sekante und kein Grenzwert?! Wie komm ich also an diesen Grenzwert? Und inwiefern hilft mir der Grenzwert bei der Bestimmung einer Tangente?
Vorher im Skript kommen auch noch Nullstellenbestimmungverfahren vor, wie z.B. das Newtonverfahren oder das Sekantenverfahren. Was hat das mit meiner Tangente zu tun?! Ist ja schön, dass ich damit Nullstellen der Kurven ausrechnen kann, aber was bringt mir das? Oder hat das garnichts mit meiner Tangentenfindung zu tun?!
Und im selben Kapitel taucht auch eine Tangentenfunktion auf...
Vielleicht mache ich mir die ganze Sache komplizierter als sie ist, aber irgendwie schwirrt alles in meinem Kopf herum und ich weiß nicht, wo ich ansetzen soll :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 Di 24.01.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Die Frage ist jetzt: Wie komme ich an eine solche
> Tangente?
> In meinem Uni-Skript ist dann von einer
> Sekantensteigungsfunktion die Rede. Die Funktion selber
> verstehe ich, ist ja im Endeffekt nicht anderes als die
> Steigungsfunktion für Geraden. Im folgenden ist dann aber
> die Rede von "Um Tangenten an den Graphen einer Fkt zu
> bestimmen, betrachtet man den Grenzwert der
> Sekantensteigungsfunktion". Grenzwert? Ich kann mit der
> Funktionen eine Wert ausrechnen, allerdings ist das für
> mich die Steigung der Sekante und kein Grenzwert?! Wie komm
> ich also an diesen Grenzwert? Und inwiefern hilft mir der
> Grenzwert bei der Bestimmung einer Tangente?
Eine Tangente an eine Funktion berechnet sich wie folgt:
[mm] f(x)=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0) [/mm] und [mm] f'(x_0) [/mm] ist die Ableitung an der Stelle [mm] x_0
[/mm]
Die Ableitung [mm] f'(x_0) [/mm] berechnet sich aus aus der Sekante zu:
[mm] f'(x_0)=\limes_{x\rightarrow{x_0}}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] wobei [mm] \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] das die Sekante darstellt.
> Vorher im Skript kommen auch noch
> Nullstellenbestimmungverfahren vor, wie z.B. das
> Newtonverfahren oder das Sekantenverfahren. Was hat das mit
> meiner Tangente zu tun?! Ist ja schön, dass ich damit
> Nullstellen der Kurven ausrechnen kann, aber was bringt mir
> das? Oder hat das garnichts mit meiner Tangentenfindung zu
> tun?!
Das Newtonverfahren ersetzt die Funktion f(x) an der Stelle [mm] x_0 [/mm] durch seine Tangente und berechnet die Nullstelle der Tangente als neue Näherung für die gesuchte Nullstelle, d.h.
[mm] x_{n+1}=x_n-\bruch{f(x_n)}{f'(x_n)}
[/mm]
Das Sekantenverfahren ersetzt die Ableitung im Newtonverfahren durch die Sekante also
[mm] x_{n+1}=x_n-\bruch{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}*f(x_n)
[/mm]
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