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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Mo 27.09.2004 | | Autor: | drummy |
Hallo Leute,
ich hab da ne Aufgabe bei der ich nicht reinkomme.
Vom Punkt R werden die Tangenten an den Graphen von f gelegt. Berechnen Sie die Koordinaten der Berührpunkte und geben Sie die Gleichungen der Tangenten an.
f(x)= [mm] 4x-2/x^2, [/mm] R (0/0)
Wäre nett, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.
Gruß drummy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Grü0 dich drummy!
Wenn du einen beliebigen Punkt $R(a|b)$ hast und eine Tangente an den Graphen von $f$ legen sollst, dann kannst du folgende Überlegungen anstellen:
Du hast einen potentiellen Punkt [mm] $(x_0|f(x_0))$ [/mm] auf dem Graphen, welche Berührpunkt der Tangente durch $R$ ist. Die Tangentensteigung kannst du über [mm] $f'(x_0)$ [/mm] erhalten. Du weißt ja, dass die Steigung einer Geraden (in diesem Falle der Tangente) gleich [mm] $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ [/mm] ist. Multiplizierst du die Steigung also mit einer Abszissendifferenz (X-Differenz), so erhältst du die entsprechende Ordinatendifferenz (Y-Differenz) der Tangente. Das können wir uns zu Nutze machen. Als Abszissendifferenz wählen wir [mm] $a-x_0$, [/mm] also die X-Differenz zwischen dem potentiellen Berührpunkt und dem X-Wert des Punktes $R$ (s.o.). In dieser Differenz ändert sich der Y-Wert um [mm] $f'(x_0)\cdot (a-x_0)$. [/mm] Da wir den Y-Wert zu Beginn des "Weges" der Tangente von [mm] $(x_0|f(x_0))$ [/mm] zu $R$ kennen, nämlich [mm] $f(x_0)$, [/mm] und der Endpunkt der Y-Wert von $R$, also $b$ sein soll, muss gelten: [mm] $\overbrace{f(x_0)}^{Startwert}+\overbrace{f'(x_0)}^{Steigung}\cdot\overbrace{(a-x_0)}^{Abszissendifferenz}=\overbrace{b}^{Y-Wert\ von\ R}$.
[/mm]
Das kannst du jetzt nach [mm] $x_0$ [/mm] auflösen und bist einen großen Schritt weiter!
Hilft dir das?
Gruß,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Mo 27.09.2004 | | Autor: | drummy |
Hallo,
ich blick nicht ganz durch deine Ausführungen durch. Kannst du die aufgabe nicht konkret an den von mir gegeben Daten vorrechnen beziehungsweise einstiegstips geben?
Gruß drummy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Drummy.
Um konkret zu werden, musst du für $f(x)$ doch nur deine Funktion einsetzen und anscheinend gilt bei dir $R(0|0)$, also $a,b=0$. Das setzt du alles fröhlich ein und erhältst deine [mm] $x_0$ [/mm] Werte, die dir angeben, wo die Tangente den Graphen berührt.
Wo hapert es denn bei meinen Ausführungen?
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:16 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo drummy
vielleicht hilft ja auch noch eine Skizze zu Hanno Erläuterungen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
mit lieben Grüssen
Paul
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Mo 27.09.2004 | | Autor: | drummy |
Also wahrscheinlich steh ich ziemlich auf´m Schlauch aber ich krieg da nix vernünftiges raus.
Kann mir jemand eine detaillierte Rechnung mit meinen gegeben Werten geben. Ich muss die selbe Aufgabe nämlich noch mit drei anderen Werten berechnen. Wäre echt nett.
Gruß drummy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo drummy
jetzt wäre es aber doch gut, wenn du uns mitteilen würdest, wie das so unvernünftige denn aussieht!
Aber gut, ich will mal nicht so sein.
Was wir sicher brauchen, ist ja die erste Ableitung der Funktion
[mm] $y=4x-\bruch{2}{x^{2}}$
[/mm]
Sollte ich micht nicht verrechnet haben, dann ergibt sich:
[mm] $y'=4+\bruch{4}{x^{3}}$
[/mm]
Nach Hanno nimmst du jetzt also ein
[mm] $x_{0}$
[/mm]
An der Stelle [mm] $x_{0}$ [/mm] den Funktionswert:
[mm] $4x_{0}-\bruch{2}{x_{0}^{2}}$
[/mm]
Dann brauchst du noch [mm] $f'(x_{0})$:
[/mm]
[mm] $4+\bruch{4}{x_{0}^{3}}$
[/mm]
$a=0$ und $b=0$
Dies setzt du in der Formel von Hanno ein:
[mm] $f(x_{0})+(a-x_{0})*f'(x_{2})=b$
[/mm]
Also:
[mm] $4x_{0}-\bruch{2}{x_{0}^{2}}+(4+\bruch{4}{x_{0}^{3}})*(-x_{0})=0$
[/mm]
Wie man das nach [mm] $x_{0}$ [/mm] auflöst, sollte keine allzugrossen Schwierigkeiten bereiten, jedenfalls bis hierhin:
[mm] $-\bruch{6}{x_{0}^{2}}=0$
[/mm]
Jetzt sollte das aber interpretiert werden.
Meiner Meinung nach kann man da nur ablesen, dass es kein solches [mm] $x_{0} \in \mathbb{R}$ [/mm] gibt.
Es gilt aber:
[mm] $\lim_{x \to \infty}{\bruch{-6}{x^{2}}}=0$
[/mm]
Wenn das [mm] $x_{0}$ [/mm] über alle Grenzen wächst oder fällt, dann entsteht sehr wohl eine Tangente durch den Koordinatenursprung!
Die Funktion hat also eine Asymptote.
Kann man die bestimmen?
Ja, die Funktion strebt ja mit $x [mm] \to \pm \infty$ [/mm] gegen die Funktion
$y=4x$
Kannst du dir das ein wenig vorstellen?
Die Asymptotengleichung ist eben eine Gerade, die durch den Ursprung geht und ist somit auch eine Tangente an den Graphen.
Mit lieben Grüssen
Paul
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